2018北师大版高中数学必修五3.2第2课时数列求和达标练习含解析

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    有奖投稿

2018北师大版高中数学必修五3.2第2课时数列求和达标练习含解析

本资料为WORD文档,请点击下载地址下载
文 章
来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m

  [A 基础达标]
1.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为(  )
A.14    B.512    
C.34    D.712
解析:选B.依题意bn=1an=1n2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以{bn}的前10项和为S10=12-13+13-14+14-15+…+111-112=12-112=512,故选B.
2.若数列{an}的通项公式an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和Sn为(  )
A.2n+n2-1  B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2  D.2n+n2-2
解析:选C.Sn=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=2(1-2n)1-2+n(1+2n-1)2=2n+1-2+n2.
3.数列{an}中,an=1n(n+1),其前n项和为910,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为(  )
A.-10  B.-9 
C.10  D.9
解析:选B.数列{an}的前n项和为11×2+12×3+…+1n(n+1)=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1=910,所以n=9,于是直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0.所以其在y轴上的截距为-9.
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn等于(  )
A.6n-n2  B.n2-6n+18
C.6n-n2,1≤n≤3,n2-6n+18,n>3  D.6n-n2,1≤n≤3,n2-6n,n>3
解析:选C.因为由Sn=n2-6n得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.
所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,
n≤3时,an<0,n>3时,an>0,
Tn=6n-n2,1≤n≤3,n2-6n+18,n>3.
5.设数列1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项和为Sn,则Sn=(  )
A.2n  B.2n-n
C.2n+1-n  D.2n+1-n-2
解析:选D.因为an=1+2+22+…+2n-1=1-2n1-2=2n-1,所以Sn=(2+22+23+…+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.
6.已知数列{an}的通项公式an=2n-12n,其前n项和Sn=32164,则项数n等于________.
解析:an=2n-12n=1-12n,
所以Sn=n-121-12n1-12=n-1+12n=32164=5+164,
所以n=6.
答案:6
7.已知ln x+ln x2+…+ln x10=110,则ln x+ln2 x+ln3 x+…+ln10 x=________.
解析:由ln x+ln x2+…+ln x10=110.
得(1+2+3+…+10)ln x=110,所以ln x=2.
从而ln x+ln2 x+…+ln10 x=2+22+23+…+210
=2(1-210)1-2=211-2=2 046.
答案:2 046
8.已知函数f(n)=n2,n为奇数,-n2,n为偶数,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于________.
解析:由题意,a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.
答案:100
9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n2,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
解:(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n.
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由(1)知,an=n,故bn=2n+(-1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n,则
T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,
B=-1+2-3+4-…+2n,
则A=2(1-22n)1-2=22n+1-2,
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
10.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,
且Sn=an(an+1)2,n∈N+;
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)设bn=12Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.
解:(1)证明:因为Sn=an(an+1)2,n∈N+,
所以当n=1时,a1=S1=a1(a1+1)2,
所以a1=1.
当n≥2时,由2Sn=a2n+an,2Sn-1=a2n-1+an-1,
得2an=a2n+an-a2n-1-an-1.
即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
因为an+an-1>0,
所以an-an-1=1(n≥2).
所以数列{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列.
(2)由(1)可得an=n,
Sn=n(n+1)2,
bn=12Sn=1n(n+1)=1n-1n+1.
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1=nn+1.

[B 能力提升]
11.化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是(  )
A.2n+1+n-2  B.2n+1-n+2
C.2n-n-2  D.2n+1-n-2
解析:选D.因为Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1,所以2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n,有2Sn-Sn=2+22+23+…+2n-1+2n-n,得Sn=2n+1-2-n.
12.已知数列{an}中,an=4×(-1)n-1-n(n∈N+),则数列{an}的前2n项和S2n=________.
解析:S2n=a1+a2+…+a2n=[4(-1)0-1]+[4(-1)1-2]+[4(-1)2-3]+…+
[4(-1)2n-1-2n]=4[(-1)0+(-1)1+
(-1)2+…+(-1)2n-1]-(1+2+3+…+2n)=-2n(2n+1)2=-n(2n+1).
答案:-n(2n+1)
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=2Sn,n为奇数,bn,n为偶数.
设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.
解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由b2+S2=10,a5-2b2=a3,
得q+6+d=10,3+4d-2q=3+2d,解得d=2,q=2,
所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
(2)由a1=3,an=2n+1得Sn=n(n+2),
则n为奇数时,cn=2Sn=1n-1n+2.
n为偶数时,cn=2n-1,
所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)
=1-13+13-15+…+
12n-1-12n+1+(2+23+…+22n-1)
=1-12n+1+2(1-4n)1-4=2n2n+1+23(4n-1).
14.(选做题)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1, 1),P2(x2, 2),…,Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.
 
解:(1)设数列{xn}的公比为q,由已知q>0.
由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.
所以3q2-5q-2=0.
因为q>0,
所以q=2,x1=1,
因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1.
(2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.
由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,
记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,
由题意得bn=(n+n+1)2×2n-1=(2n+1)×2n-2,
所以Tn=b1+b2+…+bn=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.①
又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.②
①-②得
-Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1
=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)×2n-1.
所以Tn=(2n-1)×2n+12.

文 章
来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m
最新试题

点击排行

推荐试题

| 触屏站| 加入收藏 | 版权申明 | 联系我们 |