第1课时 等比数列的前n项和达标练习含解析

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    有奖投稿

第1课时 等比数列的前n项和达标练习含解析

本资料为WORD文档,请点击下载地址下载
文 章
来源 莲山 课件 w w
w.5 Y k J.cOM   [A 基础达标]
1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为(  )
A.1+a(1-an-1)1-11a     B.1-an1-a
C.an+1-1a-1  D.以上皆错
解析:选D.当a=1时,Sn=n,故选D.
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于(  )
A.7  B.8
C.15  D.16
解析:选C.设{an}的公比为q,
因为4a1,2a2,a3成等差数列,
所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,
即q2-4q+4=0,所以q=2,
又a1=1,所以S4=1-241-2=15,故选C.
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=(  )
A.-2     B.2     
C.3     D.-3
解析:选A.因为S3+3S2=0,
所以a1(1-q3)1-q+3a1(1-q2)1-q=0,
即(1-q)(q2+4q+4)=0.解得q=-2或q=1(舍去).
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=(  )
A.18  B.-18
C.578  D.558
解析:选A.法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9=(S6-S3)2S3=18.故选A.
法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3=S6-S3S3=-18,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×    -182=18.故选A.
5.在等比数列{an}中,已知S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于(  )
A.90  B.70
C.40  D.30
解析:选C.因为S30≠3S10,所以q≠1.
由S30=13S10,S10+S30=140得S10=10,S30=130,
所以a1(1-q10)1-q=10,a1(1-q30)1-q=130,
所以q20+q10-12=0.所以q10=3,
所以S20=a1(1-q20)1-q=S10(1+q10)
=10×(1+3)=40.
6.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________.
解析:因为在等比数列{an}中,前3项之和等于21,
所以a1(1-43)1-4=21,所以a1=1.
所以an=4n-1.
答案:4n-1
7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=1,an+1-an=2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.
解析:因为an+1-an=2n,应用累加法可得an=2n-1.
所以Sn=a1+a2+…+an=2+22+…+2n-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.
答案:2n+1-n-2
8.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=________.
解析:设数列{an}的公比为q,则由已知,得q3=-2.
又a1+a2+a3=a11-q(1-q3)=1,
所以a11-q=13,所以S15=a11-q(1-q15)=a11-q[1-(q3)5]=13×[1-(-2)5]=11.
答案:11
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解:(1)设{an}的公比为q.由题设可得
a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.
由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n2n+13]=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
10.数列{an}是首项为1的等差数列,且公差不为零,而等比数列{bn}的前三项分别是a1,a2,a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若b1+b2+…+bk=85,求正整数k的值.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
因为a1,a2,a6成等比数列,
所以a22=a1·a6,
所以(1+d)2=1×(1+5d),
所以d2=3d,
因为d≠0,
所以d=3,
所以an=1+(n-1)×3=3n-2.
(2)数列{bn}的首项为1,公比为q=a2a1=4,
故b1+b2+…+bk=1-4k1-4=4k-13.
令4k-13=85,即4k=256,
解得k=4.
故正整数k的值为4.
[B 能力提升]
11.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有(  )
A.13项         B.12项
C.11项  D.10项
解析:选B.设该数列的前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.所以前三项之积a31q3=2,后三项之积a31q3n-6=4.所以两式相乘,得a61q3(n-1)=8,即a21qn-1=2,又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,所以an1·qn(n-1)2=64,即(a21qn-1)n=642,即2n=642,所以n=12.
12.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项之和S奇为8514,所有偶数项之和S偶为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为________.
解析:设公比为q,
由S偶S奇=q=2,S奇=a1[1-(q2)5]1-q2=8514,得a1=14,q=2.
所以S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)
=a1q2·1-q121-q3=585.
答案:585
13.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2+a4+…+a2n.
解:由条件知S1=a1=1.
(1)①当c=1时,an=1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2⇒an=1,n=1,0,n≥2.
②当c≠1时,an=1,n=1,(c-1)cn-2,n≥2.
(2)①当c=1时,a2+a4+…+a2n=0;
②当c≠1时,数列是以a2为首项,c2为公比的等比数列,所以a2+a4+…+a2n=(c-1)(1-c2n)1-c2=c2n-11+c.
14.(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式;
(2)设An=a1+a2+…+ann,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须在第9年初对M更新.
解:(1)当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列.
an=120-10(n-1)=130-10n;
当n≥7时,数列{an}是以a6为首项,公比为34的等比数列,又a6=70,所以an=70×34n-6;
因此,第n年初,M的价值an的表达式为
an=130-10n,n≤6,70×34n-6,n≥7.
(2)证明:设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),
An=120-5(n-1)=125-5n;
当n≥7时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)
=570+70×34×4×1-34n-6
=780-210×34n-6,
An=780-210×34n-6n,
因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,又
A8=780-210×(34)8-68=824764>80,
A9=780-210×(34)9-69=767996<80,
所以须在第9年初对M更新.
 文 章
来源 莲山 课件 w w
w.5 Y k J.cOM
最新试题

点击排行

推荐试题

| 触屏站| 加入收藏 | 版权申明 | 联系我们 |