3-3.1 第2课时 等比数列的性质达标练习含解析

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3-3.1 第2课时 等比数列的性质达标练习含解析

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文 章来源 莲
山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM  
[A 基础达标]
1.等比数列{an}的公比q=-14,a1=2,则数列{an}是(  )
A.递增数列       B.递减数列
C.常数列  D.摆动数列
解析:选D.由于公比q=-14<0,所以数列{an}是摆动数列.
2.等比数列{an}中,a2=4,a7=116,则a3a6+a4a5的值是 (  )
A.1    B.2    
C.12    D.14
解析:选C.a3a6=a4a5=a2a7=4×116=14,
所以a3a6+a4a5=12.
3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11等于(  )
A.10  B.25
C.50  D.75
解析:选B.法一:因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=5,
所以a8·a9·a10·a11=52=25.
法二:由已知得a1q6·a1q11=a21q17=5,
所以a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21q17)2=25.
4.计算机的价格不断降低,若每件计算机的价格每年降低13,现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为(  )
A.300元  B.900元
C.2 400元  D.3 600元
解析:选C.降低后的价格构成以23为公比的等比数列.则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×233=2 400(元).
5.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于(  )
A.2  B.4
C.8  D.16
解析:选C.等比数列{an}中,a3a11=a27=4a7,解得a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.
6.在等比数列{an}中,各项均为正数,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则a4+a8=________.
解析:因为a6a10=a28,a3a5=a24,
所以a28+a24=41.
又因为a4a8=5,an>0,
所以a4+a8=(a4+a8)2
=a24+2a4a8+a28=51.
答案:51
7.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是________.
解析:设此三数为3,a,b,
则2a=3+b,(a-6)2=3b,
解得a=3b=3或a=15,b=27.所以这个未知数为3或27.
答案:3或27
8.设x,y,z是实数,9x,12y,15z成等比数列.且1x,1y,1z成等差数列,则xz+zx的值是________.
解析:由题意可得(12y)2=9x×15z,2y=1x+1z,所以y=2xzx+z,所以24xzx+z2=135xz,化简得15x2+15z2=34xz,两边同时除以15xz可得xz+zx=3415.
答案:3415
9.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数和为6,求这三个数.
解:由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,则
a-d+a+a+d=6,所以a=2,
这三个数可表示为2-d,2,2+d,
①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),
解之得d=6,或d=0(舍去).
此时三个数为-4,2,8.
②若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6,或d=0(舍去).
此时三个数为8,2,-4.
③若2为等比中项,则22=(2+d)·(2-d),
所以d=0(舍去).
综上可求得此三数为-4,2,8.
10.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a23=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列1bn(n≥2,n∈N+)的前n项和.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为a23=9a2a6=9a24,
所以q2=a24a23=19,因为an>0,所以q>0,所以q=13,
因为2a1+3a2=2a1+3a1q=1,所以3a1=1,a1=13,
所以an=13n.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=log3(a1·a2·…·an)
=log3131+2+3+…+n=-n(n+1)2.
设数列1bn的前n项和为Sn,
则Sn=-211×2+12×3+…+1n(n+1)
=-21-12+12-13+…+1n-1n+1
=-21-1n+1=-2nn+1.
[B 能力提升]
11.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=an+1an,若b10·b11=2,则a21=(  )
A.20  B.512
C.1 013  D.1 024
解析:选D.因为bn=an+1an,且b10·b11=2,
又{bn}是等比数列,
所以b1·b20=b2·b19=…=b10·b11=2,
则a2a1·a3a2·a4a3…a21a20=b1b2b3…b20=210,即a21a1=1 024,
从而a21=1 024a1=1 024.
12.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=158,a8a9=-98,则1a7+1a8+1a9+1a10=________.
解析:因为1a7+1a10=a7+a10a7a10,1a8+1a9=a8+a9a8a9,又a8a9=a7a10,所以1a7+1a8+1a9+1a10=a7+a8+a9+a10a8a9=158-98=-53.
答案:-53
13.如图所示,在边长为1的等边三角形A1B1C1中,连接各边中点得△A2B2C2,再连接△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3,…,如此继续下去,试证明数列S△A1B1C1,S△A2B2C2,S△A3B3C3,…是等比数列.
 
证明:由题意,得△AnBnCn(n=1,2,3…)的边长AnBn构成首项为1,公比为12的等比数列,故AnBn=12n-1,所以S△AnBnCn=34122n-2,
所以S△An+1Bn+1Cn+1S△AnBnCn=34122n34122n-2=14.
因此,数列S△A1B1C1,S△A2B2C2,S△A3B3C3,…是等比数列.
14.(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=55,S20=210.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=anan+1,是否存在m,k(k>m≥2,m,k∈N+)使得b1,bm,bk成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m,k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.
由已知,得10a1+10×92d=55,20a1+20×192d=210,
即2a1+9d=11,2a1+19d=21,解得a1=1,d=1.
所以an=a1+(n-1)d=n(n∈N+).
(2)假设存在m,k(k>m≥2,m,k∈N+)使得b1,bm,bk成等比数列.则b2m=b1bk.
因为bn=anan+1=nn+1,
所以b1=12,bm=mm+1,bk=kk+1,
所以mm+12=12×kk+1.
整理,得k=2m2-m2+2m+1.
以下给出求m,k的方法:
因为k>0,所以-m2+2m+1>0,
解得1-2<m<1+2.
因为m≥2,m∈N+,所以m=2,此时k=8.
故存在m=2,k=8使得b1,bm,bk成等比数列.
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