第1课时 等比数列的概念及通项公式达标练习含解析

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第1课时 等比数列的概念及通项公式达标练习含解析

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm  [A 基础达标]
1.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比q为(  )
A.2           B.4
C.8  D.16
解析:选B.由anan+1=16n,知a1a2=16,a2a3=162,后式除以前式得q2=16,所以q=±4.因为a1a2=a21q=16>0,所以q>0,所以q=4.
2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是(  )
A.a≠1  B.a≠0或a≠1
C.a≠0  D.a≠0且a≠1
解析:选D.由于a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则a需满足a≠0,a(1-a)≠0,a(1-a)2≠0,所以a≠0且a≠1.
3.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于(  )
A.9  B.10
C.11  D.12
解析:选C.在等比数列{an}中,因为a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10.又因为am=    qm-1,所以m-1=10,所以m=11.
4.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线y=2x上,则a4的值为(  )
A.7  B.8
C.9  D.16
解析:选B.因为点(an,an+1)在直线y=2x上,
所以an+1=2an.
因为a1=1≠0,
所以an≠0,
所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以a4=1×23=8.
5.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为(  )
A.53  B.43
C.32  D.12
解析:选A.设这个数为x,
则(50+x)2=(20+x)·(100+x),
解得x=25,
所以这三个数为45,75,125,公比q为7545=53.
6.(1)把下面数列填上适当的数.
32,16,________,4,2,1.
(2)数列2,4,8,16,32,…,的一个通项公式为________.
解析:(1)公比为12的等比数列.
(2)该数列为等比数列,首项a1=2,公比q=2,所以an=a1qn-1=2n.
答案:(1)8 (2)an=2n
7.已知等比数列{an}的前三项为a-2,a+2,a+8,则2a1+a22a3+a4等于________.
解析:由题意知(a+2)2=(a-2)(a+8),
所以a=10,
所以{an}的首项为8,公比为32,
即an=8×32n-1,
所以2a1+a22a3+a4=2×8+8×322×8×94+8×278=49.
答案:49
8.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=________.
解析:由题意得2q2-2q=4,解得q=2或q=-1.又{an}单调递增,得q>1,所以q=2.
答案:2
9.在等比数列{an}中,a3=32,a5=8.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若an=12,求n.
解:(1)因为a5=a1q4=a3q2,
所以q2=a5a3=14.
所以q=±12.
当q=12时,an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3qn-3=
32×12n-3=28-n;
当q=-12时,an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3qn-3=
32×-12n-3.
所以an=28-n或an=32×-12n-3.
(2)当an=12时,28-n=12或32×-12n-3=12,解得n=9.
10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a2n-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)由题意可得a2=12,a3=14.
(2)由a2n-(2an+1-1)an-2an+1=0
得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,
所以an+1an=12.
故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.
[B 能力提升]
11.设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],如[2.5]=2,[-2.5]=-3,令{x}=x-[x],则5+12,5+12,5+12,三个数构成的数列(  )
A.是等比数列但不是等差数列
B.是等差数列但不是等比数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析:选A.因为5+12=1,所以5+12=5+12-5+12=5+12-1=5-12.由于5-12·5+12=12,5-12+5+12=5≠2×1,所以5-12,1,5+12成等比数列,不成等差数列,即5+12,5+12,5+12成等比数列,不成等差数列.
12.已知等比数列{an}中,a1=1,且a1,12a3,2a2成等比数列,则an=________.
解析:设等比数列{an}的公比为q,
则a2=q,a3=q2.因为a1,12a3,2a2成等比数列,
所以14q4=2q,解得q=2,所以an=2n-1.
答案:2n-1
13.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1.
(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;
(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.
解:(1)因为Sn=2an+1,所以Sn+1=2an+1+1,
Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)
=2an+1-2an,
所以an+1=2an①,
由已知及①式可知an≠0.
所以由an+1an=2,知{an}是等比数列.
由a1=S1=2a1+1,
得a1=-1,所以an=-2n-1.
(2)证明:由第一问知,an=-2n-1,
所以bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.
所以数列{bn}是等比数列.
14.(选做题)在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比;
(2)是否存在a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.
解:(1)设{an}的公差为d(d≠0),{bn}的公比为q(q≠0),由已知a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q.由a8=b3,得1+7d=q2,解得q=1,d=0(舍去)或q=6,d=5,即数列{an}的公差为5,数列{bn}的公比为6.
(2)假设存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)·5=loga6n-1+b,所以5n-4=(n-1)loga6+b,所以(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.要使上式对于一切自然数n成立,必须且只需5-loga6=0,4+b-loga6=0.解得a=56,b=1.因此,存在a=56,b=1使得结论成立. 文章来
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