2018北师大版高中数学必修五第1章 2-2.1 第2课时等差数列的性质达标练习含解析

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2018北师大版高中数学必修五第1章 2-2.1 第2课时等差数列的性质达标练习含解析

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源莲山 课件 w w
w.5 Y k J.Co m  [A 基础达标]
1.已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+a4+a5=(  )
A.30          B.15
C.56  D.106
解析:选B.因为数列{an}为等差数列,
所以a1+a2+a3+a4+a5=52(a2+a4)=52×6=15.
2.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程:x2+(a4+a6)x+10=0(  )
A.无实根  B.有两个相等实根
C.有两个不等实根  D.不能确定有无实根
解析:选A.由于a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,
所以a5=3,方程为x2+6x+10=0,无实数解.
3.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为(  )
A.-6  B.6
C.0  D.10
解析:选B.由于{an},{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.
4.已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为(  )
A.105  B.120
C.90  D.75
解析:选A.由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10.又a1a2a3=80,所以a1a3=16,所以a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.又等差数列{an}的公差为正数,所以{an}是递增数列,所以a1=2,a3=8,所以等差数列{an}的公差d=a2-a1=5-2=3,所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105.
5.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q等于(  )
A.p+q  B.0
C.-(p+q)  D.p+q2
解析:选B.设等差数列{an}的公差为d.
因为ap=aq+(p-q)d,所以q=p+(p-q)d,
即q-p=(p-q)d,因为p≠q,所以d=-1.
故ap+q=ap+[(p+q)-p]d=q+(-1)q=0.
6.在等差数列{an}中,已知am+n=A,am-n=B,则am=________.
解析:因为m-n,m,m+n成等差数列,又因为{an}是等差数列,所以am-n,am,am+n成等差数列,所以am=A+B2.
答案:A+B2
7.在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)=________.
解析:在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(2a1·2a2·…·2a10)=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20.
答案:20
8.已知数列{an}满足a1=1,若点ann,an+1n+1在直线x-y+1=0上,则an=________.
解析:由题设可得ann-an+1n+1+1=0,
即an+1n+1-ann=1,所以数列ann是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式ann=n,所以an=n2.
答案:n2
9.首项为a1,公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件:
(1)a3+a5+a7=93;
(2)满足an>100的n的最小值是15,
试求公差d和首项a1的值.
解:因为a3+a5+a7=93,
所以3a5=93,所以a5=31,
所以an=a5+(n-5)d>100,所以n>69d+5.
因为n的最小值是15,所以14≤69d+5<15,
所以6910<d≤723,
又d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3.
10.一个等差数列的首项是8,公差是3;另一个等差数列的首项是12,公差是4,这两个数列有公共项吗?如果有,求出最小的公共项,并指出它分别是两个数列的第几项.
解:首项是8,公差是3的等差数列的通项公式为an=3n+5;首项是12,公差是4的等差数列的通项公式为bm=4m+8.
根据公共项的意义,就是两项相等,令an=bm,
即n=4m3+1,该方程有正整数解时,m=3k,k为正整数,令k=1,得m=3,则n=5,
因此这两个数列有最小的公共项为20,分别是第一个数列的第5项,第二个数列的第3项.
[B 能力提升]
11.已知两个等差数列{an}:5,8,11,…;{bn}:3,7,11,…,都有100项,则它们的公共项的个数为(  )
A.20  B.23
C.25  D.27
解析:选C.在数列{an}中,a1=5,公差d1=8-5=3,所以an=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{bn}中,b1=3,公差d2=7-3=4,所以bn=b1+(n-1)d2=4n-1.令an=bm,则3n+2=4m-1,所以n=4m3-1.因为m,n∈N+,所以m=3k(k∈N+).又0<m≤1000<n≤100,所以0<m≤75,所以0<3k≤75,所以0<k≤25,所以k=1,2,3,…,25,所以这两个数列共有25个公共项.故选C.
12.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________.
解析:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19.
又{cn}为21项的对称数列,
所以c2=c20=19.
答案:19
13.已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.
解:(1)设等差数列的公差为d.
因为a1+a2+a3=12.
所以a2=4,
因为a8=a2+(8-2)d,
所以16=4+6d,所以d=2,
所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.故an=2n.
(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
所以数列{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.
所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.故bn=4n.
14.(选做题)某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)
解:设在相同的时间内,
从低到高每档产品的产量分别为
a1,a2,…,a10,
利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
所以an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
所以利润f(n)=anbn
=(-3n+63)(2n+6)
=-6n2+108n+378
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
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