2018北师大版高中数学必修五1.2 数列的函数特性达标练习含解析

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2018北师大版高中数学必修五1.2 数列的函数特性达标练习含解析

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm   [A 基础达标]
1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是(  )
A.递增数列        B.递减数列
C.常数列  D.不能确定
解析:选A.因为an+1-an=3>0,故数列{an}是递增数列.
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2n-1,按项的变化趋势,该数列是(  )
A.递增数列  B.递减数列
C.摆动数列  D.常数列
解析:选B.因为an+1-an=n+12n+1-n2n-1=-1(2n+1)(2n-1)<0,所以an+1<an.故该数列是递减数列.
3.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是(  )
A.109  B.10818
C.108  D.107
解析:选C.an=-2n2+29n+3=
-2n2-292n+3=-2·n-2942+3+2928,当n=7时,an最大且等于108,故选C.
4.在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是(  )
A.R  B.(0,+∞)
C.(-∞,0)  D.(-∞,0]
解析:选C.因为{an}是递减数列,所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.
5.已知数列{an}的通项公式为an=411-2n,则满足an+1<an的n的取值为(  )
A.3  B.4
C.5  D.6
解析:选C.由an+1<an,得an+1-an=49-2n-411-2n
=8(9-2n)(11-2n)<0,解得92<n<112,又n∈N+,
所以n=5.
6.已知下列数列:
①2 010,2 014,2 018,2 022;
②0,12,23,…,n-1n,…;
③1,12,14,…,12n-1,…;
④1,-23,35,…,(-1)n-1·n2n-1,…;
⑤6,6,6,6,6,6.
其中,有穷数列是______,无穷数列是______,递增数列是______,递减数列是______,常数列是______,摆动数列是________.(将符合条件的数列的序号填在横线上)
解析:①是有穷递增数列;②是无穷递增数列;③是无穷递减数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤是常数列,也是有穷数列.
答案:①⑤ ②③④ ①② ③ ⑤ ④
7.已知数列{an}中,an=n·79n+1,当an最大时,n=________. 
解析:an+1-an=79n+1·7-2n9,故当n=1,2,3时,an+1>an;当n≥4时,an+1<an.所以此数列的最大项为a4.
答案:4
8.已知数列{an}为单调递增数列,通项公式为an=n+λn,则λ的取值范围是________.
解析:由于数列{an}为单调递增数列,an=n+λn,所以an+1-an=(n+1)+λn+1-n+λn=1-λn(n+1)>0,即λ<n(n+1)(n∈N+),所以λ<2.
答案:(-∞,2)
9.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4,
(1)数列中有多少项为负数?
(2)n为何值时,an有最小值?并求此最小值.
解:(1)由n2-5n+4<0得1<n<4,n∈N+,
所以n=2或3.所以数列中有2项为负数.
(2)因为an=n2-5n+4=n-522-94,
又因为n∈N+,
所以n=2或3时,an有最小值-2.
10.已知函数f(x)=1-2xx+1(x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).
(1)求证:an>-2;
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
解:(1)证明:因为f(x)=1-2xx+1
=3-2(x+1)x+1=-2+3x+1,
所以an=-2+3n+1.
因为n∈N+,所以an>-2.
(2)数列{an}为递减数列.
因为an=-2+3n+1,所以an+1-an=-2+3n+2--2+3n+1=3n+2-3n+1=-3(n+2)(n+1)<0,
即an+1<an,所以数列{an}为递减数列.
[B 能力提升]
11.一给定函数y=f(x)的图像在下列各图中,并且对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则该函数的图像是(  )
 
解析:选A.由an+1=f(an),an+1>an知f(an)>an.可以知道x∈(0,1)时f(x)>x,即f(x)的图像在y=x图像的上方,由选项中所给的图像可以看出,A符合条件.
12.已知通项公式为an=(m2-2m)(n3-2n)的数列是递减数列,则实数m的取值范围为____________.
解析:因为数列{an}为递减数列,所以an+1<an.
所以an+1-an=(m2-2m)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n]=(m2-2m)(3n2+3n-1)<0.因为n∈N+,所以3n2+3n-1=3n+122-74≥5>0.
所以m2-2m<0,解得0<m<2.故m∈(0,2).
答案:(0,2)
13.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)910n,试问n取何值时,an取最大值?试求出an的最大值.
解:因为an+1an=(n+3)910n+1(n+2)910n=9(n+3)10(n+2)=910+910·1n+2,由an+1an=1,解得n=7,
则当n=7时,a8a7=1,即a7=a8.
当n<7时,an+1an>1,即an+1>an.
当n≥8时,an+1an<1,即an+1<an.
则当n=7或n=8时,an取最大值,
最大值为a7=a8=98107.
14.(选做题)设f(x)=log2x-logx4(0<x<1),又知数列{an}的通项an满足f(2an)=2n.求数列{an}的通项公式.
解:因为f(x)=log2x-logx4(0<x<1),f(2an)=2n,
所以log22an-log2an4=2n,由换底公式,得log22an-log24log22an=2n,即an-2an=2n,所以a2n-2nan-2=0,
所以an=n±n2+2.①
由0<x<1,有0<2an<1,所以an<0.②
由①②得an=n-n2+2,此即为数列{an}的通项公式.
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