人教A版2019高考文科数学创新思维练习(58份含答案)

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人教A版2019高考文科数学创新思维练习(58份含答案)

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文 章来
源莲山 课
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k J.Com

课时规范练
A组 基础对点练
1.直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的交点个数是(  )
A.1         B.2
C.1或2  D.0
解析:因为直线y=bax+3与双曲线的渐近线y=bax平行,所以它与双曲线只有1个交点.
答案:A
2.(2018·西安模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(  )
A.4  B.33
C.43  D.8
解析:∵y2=4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点F且斜率为3的直线l1:y=3(x-1),与y2=4x联立,解得x=3或x=13(舍),故A(3,23),∴AK=4,
∴S△AKF=12×4×23=43.故选C.
答案:C
3.已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(  )
①y=2x-3;②y=2x+1;③y=-2x-3;
④y=-2x+3.
A.1条  B.2条
C.3条  D.4条
解析:直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
答案:C
4.(2018·郴州模拟)过点P(-3,0)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,设∠AOB=θ,且θ∈0,π2,当△AOB的面积为34时,直线l的斜率为(  )
A.33  B.±33
C.3  D.±3
解析:∵△AOB的面积为34,
∴12×1×1×sin θ=34,
∴sin θ=32.
∵θ∈0,π2,∴θ=π3,
∴圆心到直线l的距离为32.
设直线l的方程为y=k(x+3),
即kx-y+3k=0,
∴32=|3k|1+k2,
∴k=±33.
答案:B
5.已知过定点(1,0)的直线与抛物线x2=y相交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则(x1-1)(x2-1)=________.
解析:设过定点(1,0)的直线的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程x2=y得x2-kx+k=0,故x1+x2=k,x1x2=k,因此(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1.
答案:1
6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为______________.
解析:抛物线x2=2py的准线方程为y=-p2,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+p24b2),根据已知得a2(1+p24b2)=c2 ①.由|AF|=c,得p24+a2=c2 ②.由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±x.
答案:y=±x
7.过双曲线x2-y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若使得|AB|=λ的直线l恰有3条,则λ=________.
解析:∵使得|AB|=λ的直线l恰有3条.
∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直.
此时A,B的横坐标为3,代入双曲线方程,可得y=±2,故|AB|=4.
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,
∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,
综上可知|AB|=4时,有三条直线满足题意.
∴λ=4.
答案:4
8.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.
解析:(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kO M=510,从而b2a=510,
进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则线段NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,
从而有5b4+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.
所以a=35,故椭圆E的方程为x245+y29=1.
9.已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P(2,3),且它的离心率e=12.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M,N两点,若椭圆上一点C满足OM→+ON→=λOC→,求实数λ的取值范围.
解析:(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由已知得:4a2+3b2=1,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=8b2=6,
所以椭圆的标准方程为x28+y26=1.
(2)因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切,
所以|t+k|1+k2=1⇒2k=1-t2t(t≠0),
把y=kx+t代入x28+y26=1并整理得:
(3+4k2)x2+8ktx+(4t2-24)=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=-8kt3+4k2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=6t3+4k2,
因为λOC→=(x1+x2,y1+y2),
所以C-8kt3+4k2λ,6t3+4k2λ,
又因为点C在椭圆上,所以,
8k2t23+4k22λ2+6t23+4k22λ2=1
⇒λ2=2t23+4k2=21t22+1t2+1,
因为t2>0,所以1t22+1t2+1>1,
所以0<λ2<2,所以λ的取值范围为(-2,0)∪(0,2).
B组 能力提升练
1.已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A、B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-32,则ab的值为(  )
A.-32  B.-233
C.-932  D.-2327
解析:由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有ax21+by21=0①,ax22+by22=0②,由①-②得a(x21-x22)=-b(y21-y22),即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2),由题意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,∴y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-ab,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM=y0x0=2y02x0=y1+y2x1+x2=-32,又知kAB=-1,∴-32×(-1)=-ab,∴ab=-32,故选A.
答案:A
2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为42,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p=(  )
A.4  B.3
C.2  D.1
解析:由抛物线x2=2py(p>0)可知其焦点为0,p2,所以b=p2,又a=22,因此双曲线的方程为x28-4y2p2=1,渐近线方程为y=±p42x.直线y=kx-1与双曲线的一条渐近线平行,不妨设k=p42,由y=p42x-1,x2=2py可得x2=2pp42x-1=p222x-2p,得x2-p222x+2p=0,则Δ=-p2222-8p=0,解得p=4.故选A.
答案:A
3.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )
A.(1,3)  B.(1,4)
C.(2,3)  D.(2,4)
解析:当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=2x0y1+y2=2y0.又y21=4x1y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y 2)=4(x1-x2),kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2y0.设圆心为C(5,0),则kCM=y0x0-5.因为直线l与圆相切,所以2y0·y0x0-5=-1,解得x0=3,于是y20=r2-4,r>2,又y20<4x0,即r2-4<12,所以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,选D.
答案:D
4.若点O和点F分别为椭圆x29+y28=1的中点和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OP→·FP→的最小值为________.
解析:点P为椭圆x29+y28=1上的任意一点,设P(x,y)(-3≤x≤3,-22≤y≤22),依题意得左焦点F(-1,0),∴OP→=(x,y),FP→=(x+1,y),∴OP→·FP→=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19·x+922+234.
∵-3≤x≤3,∴32≤x+92≤152,∴94≤x+922≤2254,
∴14≤19x+922≤22536,
∴6≤19·x+922+234≤12,即6≤OP→·FP→≤12.故最小值为6.
答案:6
5.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为________.
解析:设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,
整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,
∴b>-14.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,
y1+y22=-x1+x22+b=12+b,
由-12,12+b在直线y=x+3上,
即12+b=-12+3,解得b=2,
联立得y=-x+2,y=x2,
解得x1=-2,y1=4,x2=1,y2=1.
答案:(-2,4),(1,1)
6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.
解析:抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点为F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知|AF|=x1+1=3,所以x1=2,所以y1=±22,由抛物线关于x轴对称,假设A(2,22),由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y-0=22(x-1),代入抛物线方程消去y得2x2-5x+2=0,求得x=2或12,所以x2=12,故|BF|=32.
答案:32
7.定义:在平面内,点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:(x-2)2+y2=12及点A(-2,0),动点P到圆M的距离与到点A的距离相等,记P点的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程;
(2)过原点的直线l(l不与坐标轴重合)与曲线W交于不同的两点C,D,点E在曲线W上,且CE⊥CD,直线DE与x轴交于点F,设直线DE、CF的斜率分别为k1、k2,求k1k2.
解析:(1)由题意知:点P在圆内且不为圆心,易知|PA|+|PM|=23>22=|AM|,所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=23,2c=22⇒a=3,c=2.
所以b2=1,故曲线W的方程为x23+y2=1.
(2)设C(x1,y1)(x1y1≠0),E(x2,y2),则D(-x1,-y1),则直线CD的斜率为kCD=y1x1,又CE⊥CD,所以直线CE的斜率是kCE=-x1y1,记-x1y1=k,设直线CE的方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠0,由y=kx+m,x23+y2=1得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0,
∴x1+x2=-6mk1+3k2,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+3k2,
由题意知x1≠x2,
∴k1=kDE=y2+y1x2+x1=-13k=y13x1,
∴直线DE的方程为y+y1=y13x1(x+x1),
令y=0,得x=2x1,
即F(2x1,0).
可得k2=-y1x1.
∴k1k2=-13.
8.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.
(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程;
(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.
解析:(1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意,
所以可设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x,得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
∴x1+x2=4-2kbk2=2,得b=2k-k,
∴直线AB的方程为y=k(x-1)+2k,
∵AB中点的横坐标为1,∴AB中点的坐标为1,2k,
∴AB的中垂线方程为y=-1k(x-1)+2k=-1kx+3k.
∵AB的中垂线经过点P(0,2),故3k=2,得k=32,
∴直线AB的方程为y=32x-16.
 (2)由(1)可知AB的中垂线方程为y=-1kx+3k,
∴点M的坐标为(3,0),
∵直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0,
∴M到直线AB的距离d=|3k2+2-k2|k4+k2=2k2+1|k|,
由k2x-ky+2-k2=0,y2=4x得k24y2-ky+2-k2=0,
y1+y2=4k,y1·y2=8-4k2k2,
|AB|=1+1k2|y1-y2|=41+k2k2-1k2.
∴S△MAB=41+1k2 1-1k2,
设 1-1k2=t,则0<t<1,
S=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′=-12t2+8,
由S′=0,得t=63,
即k=±3时,Smax=1669,
此时直线AB的方程为3x±3y-1=0.

 

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