【真题】2018年新课标II卷高考数学试题(文带答案)

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【真题】2018年新课标II卷高考数学试题(文带答案)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A.    B.    C.    D.
2.已知集合 , ,则
A.    B.     C.    D.
3.函数 的图像大致为
 
4.已知向量 , 满足 , ,则
A.4 B.3 C.2 D.0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
A.  B.  C.  D.
6.双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为
A.  B.  C.  D.
7.在 中, , , ,则
A.  B.  C.  D.
8.为计算 ,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
 
  A.            B.   
C.            D.

9.在正方体 中, 为棱 的中点,则异面直线 与 所成角的正切值为
A.     B.     C.      D.
10.若 在 是减函数,则 的最大值是
A.  B.  C.     D.
11.已知 , 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且 ,则 的离心率为
A.  B.  C.      D.
12.已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 
A.  B.0 C.2   D.50
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线 在点 处的切线方程为__________.
14.若 满足约束条件  则 的最大值为__________.
15.已知 ,则 __________.
16.已知圆锥的顶点为 ,母线 , 互相垂直, 与圆锥底面所成角为 ,若 的面积为 ,则该圆锥的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
 记 为等差数列 的前 项和,已知 , .
 (1)求 的通项公式;
 (2)求 ,并求 的最小值.
18.(12分)
 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图.
 
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型①: ;根据2010年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型②: .
 (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
 (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)
 如图,在三棱锥 中, , , 为 的中点.
 
 (1)证明: 平面 ;
 (2)若点 在棱 上,且 ,求点 到平面 的距离.
20.(12分)
 设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与 交于 , 两点, .
 (1)求 的方程;
 (2)求过点 , 且与 的准线相切的圆的方程.
21.(12分)
已知函数 .
 (1)若 ,求 的单调区间;
 (2)证明: 只有一个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数).
 (1)求 和 的直角坐标方程;
 (2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
 设函数 .
 (1)当 时,求不等式 的解集;
 (2)若 ,求 的取值范围.

 
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.D   2.C   3.B   4.B   5.D   6.A
7.A   8.B   9.C   10.C   11.D   12.C
二、填空
13.y=2x–2    14.9    15.     16.8π
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
  =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP= .
连结OB.因为AB=BC= ,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB= =2.
由 知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
 
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC= =2,CM= = ,∠ACB=45°.
所以OM= ,CH= = .
所以点C到平面POM的距离为 .
20.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由 得 .
  ,故 .
所以 .
由题设知 ,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
 ,即 .
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
 解得 或
因此所求圆的方程为
 或 .
21.解:
(1)当a=3时,f(x)= ,f ′(x)= .
令f ′(x)=0解得x= 或x= .
当x∈(–∞, )∪( ,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈( , )时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞, ),( ,+∞)单调递增,在( , )单调递减.
(2)由于 ,所以 等价于 .
设 = ,则g ′(x)= ≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)= ,f(3a+1)= ,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
22.解:
(1)曲线 的直角坐标方程为 .
当 时, 的直角坐标方程为 ,
当 时, 的直角坐标方程为 .
(2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程,整理得关于 的方程
 .①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内,所以①有两个解,设为 , ,则 .
又由①得 ,故 ,于是直线 的斜率 .
23.解:
(1)当 时,
 
可得 的解集为 .
(2) 等价于 .
而 ,且当 时等号成立.故 等价于 .
由 可得 或 ,所以 的取值范围是 .

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