【真题】2018年新课标II卷高考数学试题(理有答案)

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【真题】2018年新课标II卷高考数学试题(理有答案)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A.    B.    C.    D.
2.已知集合 ,则 中元素的个数为
A.9     B.8    C.5    D.4
3.函数 的图像大致为
 
4.已知向量 , 满足 , ,则
A.4     B.3    C.2    D.0
5.双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为
A.  B.  C.        D.
6.在 中, , , ,则
A.  B.  C.        D.
7.为计算 ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入
A.  

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如 .在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
   A.     B.     C.      D.
9.在长方体 中, , ,则异面直线 与 所成角的余弦值为
A.     B.     C.      D.
10.若 在 是减函数,则 的最大值是
A.     B.     C.      D.
11.已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则
 
A.     B.0    C.2    D.50
12.已知 , 是椭圆 的左,右焦点, 是 的左顶点,点 在过 且斜率
为 的直线上, 为等腰三角形, ,则 的离心率为
A.      B.     C.        D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线 在点 处的切线方程为__________.
14.若 满足约束条件  则 的最大值为__________.
15.已知 , ,则 __________.
16.已知圆锥的顶点为 ,母线 , 所成角的余弦值为 , 与圆锥底面所成角为45°,若 的面积为 ,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记 为等差数列 的前 项和,已知 , .
(1)求 的通项公式;
(2)求 ,并求 的最小值.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图.
 
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型①: ;根据2010年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型②: .
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)
设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与 交于 , 两点, .
(1)求 的方程;
(2)求过点 , 且与 的准线相切的圆的方程.
20.(12分)
如图,在三棱锥 中, , , 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求 与平面 所成角的正弦值.
 
21.(12分)
已知函数 .
(1)若 ,证明:当 时, ;
(2)若 在 只有一个零点,求 .
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为
 ( 为参数).
(1)求 和 的直角坐标方程;
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求 的取值范围.


参考答案:
一、选择题
1.D  2.A  3.B  4.B  5.A  6.A
7.B  8.C  9.C  10.A  11.C  12.D
二、填空
13.   14.9  15.   16.
三、解答题
17. (12分)
解:(1)设 的公差为d,由题意得 .
由 得d=2.
所以 的通项公式为 .
(2)由(1)得 .
所以当n=4时, 取得最小值,最小值为−16.
18.(12分)
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 (亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
解:(1)由题意得 ,l的方程为 .
设 ,
由 得 .
 ,故 .
所以 .
由题设知 ,解得 (舍去), .
因此l的方程为 .
(2)由(1)得AB的中点坐标为 ,所以AB的垂直平分线方程为 ,即 .
设所求圆的圆心坐标为 ,则
 解得 或
因此所求圆的方程为 或 .
20.(12分)
解:(1)因为 , 为 的中点,所以 ,且 .
连结 .因为 ,所以 为等腰直角三角形,
且 , .
由 知 .
由 知 平面 .
(2)如图,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 .
 
由已知得 取平面 的法向量 .
设 ,则 .
设平面 的法向量为 .
由 得 ,可取 ,
所以 .由已知得 .
所以 .解得 (舍去), .
所以 .又 ,所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
21.(12分)
【解析】(1)当 时, 等价于 .
设函数 ,则 .
当 时, ,所以 在 单调递减.
而 ,故当 时, ,即 .
(2)设函数 .
 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点.
(i)当 时, , 没有零点;
(ii)当 时, .
当 时, ;当 时, .
所以 在 单调递减,在 单调递增.
故 是 在 的最小值.
①若 ,即 , 在 没有零点;
②若 ,即 , 在 只有一个零点;
③若 ,即 ,由于 ,所以 在 有一个零点,
由(1)知,当 时, ,所以 .
故 在 有一个零点,因此 在 有两个零点.
综上, 在 只有一个零点时, .
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 .
当 时, 的直角坐标方程为 ,
当 时, 的直角坐标方程为 .
(2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程,整理得关于 的方程
 .①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内,所以①有两个解,设为 , ,则 .
又由①得 ,故 ,于是直线 的斜率 .
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
【解析】(1)当 时,
可得 的解集为 .
(2) 等价于 .
而 ,且当 时等号成立.故 等价于 .
由 可得 或 ,所以 的取值范围是 .

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