【真题】2018年天津市高考数学(理科)试题(附答案)

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【真题】2018年天津市高考数学(理科)试题(附答案)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数  学(理工类)
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第I卷1至2页,第II卷3至5页。
    答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么  .
如果事件A,B相互独立,那么  .
棱柱的体积公式 ,其中 表示棱柱的底面面积, 表示棱柱的高.
棱锥的体积公式 ,其中 表示棱锥的底面面积, 表示棱锥的高.
一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R,集合 , ,则  
(A)     (B)     (C)      (D) 
(2)设变量x,y满足约束条件  则目标函数 的最大值为  
(A) 6             (B) 19              (C) 21               (D) 45
 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为  
(A) 1  (B) 2  (C) 3   (D) 4
 
(4)设 ,则“ ”是“ ”的  
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不重复条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知 , , ,则a,b,c的大小关系为  
(A)      (B)     (C)      (D) 
(6)将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数  
(A)在区间 上单调递增   (B)在区间 上单调递减
(C)在区间 上单调递增    (D)在区间 上单调递减
(7)已知双曲线 的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点. 设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ,且 ,则双曲线的方程为  
 (A)     (B)     (C)      (D) 
(8)如图,在平面四边形ABCD中, , , , . 若点E为边CD上的动点,则 的最小值为  
(A)     (B)     (C)      (D)  
 
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数  学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题,共110分。
二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
 (9) i是虚数单位,复数            .
(10) 在 的展开式中, 的系数为            .
(11) 已知正方体 的棱长为1,除面 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥 的体积为          .
 
(12)已知圆 的圆心为C,直线 (为参数)与该圆相交于A,B两点,则 的面积为           .
(13)已知 ,且 ,则 的最小值为             .
(14)已知 ,函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解,则 的取值范围是              .

三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
在 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 .
(I)求角B的大小;
(II)设a=2,c=3,求b和 的值.

(16)(本小题满分13分)
   已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
    (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

(17)(本小题满分13分)
    如图, 且AD=2BC, , 且EG=AD, 且CD=2FG, ,DA=DC=DG=2.
(I)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证: ;
(II)求二面角 的正弦值;学科*网
(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
 


(18)(本小题满分13分)
    设 是等比数列,公比大于0,其前n项和为 , 是等差数列. 已知 , , , .
(I)求 和 的通项公式;
(II)设数列 的前n项和为 ,
     (i)求 ;
     (ii)证明 .

(19)(本小题满分14分)
设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 ,点A的坐标为 ,且 .
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l: 与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ,求k的值.

(20)(本小题满分14分)
已知函数 , ,其中a>1.
(I)求函数 的单调区间;
(II)若曲线 在点 处的切线与曲线 在点  处的切线平行,证明 ;
(III)证明当 时,存在直线l,使l是曲线 的切线,也是曲线 的切线.
       

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