【真题】2018年新课标Ⅰ卷高考数学(理)试题(附答案)

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【真题】2018年新课标Ⅰ卷高考数学(理)试题(附答案)

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文 章来源 莲
山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设 ,则
A.         B.        C.         D.
2.已知集合 ,则
A.                B.   
C.      D.   
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
        
建设前经济收入构成比例              建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.设 为等差数列 的前 项和,若 , ,则
A.               B.              C.                D.
5.设函数 ,若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程为
A.     B.     C.     D.
6.在 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则
A.    B.    C.    D.
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ,圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 的路径中,最短路径的长度为
 
A.      B.      C.3     D.2
8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为 的直线与C交于M,N两点,则 =
A.5        B.6        C.7         D.8
9.已知函数  .若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是
A.[–1,0)      B.[0,+∞)       C.[–1,+∞)      D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则
 
A.p1=p2           B.p1=p3
C.p2=p3           D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C: ,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形,则|MN|=
A.      B.3    C.     D.4
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A.      B.     C.     D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若 , 满足约束条件 ,则 的最大值为_____________.
14.记 为数列 的前 项和,若 ,则 _____________.
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)
16.已知函数 ,则 的最小值是_____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分。
17.(12分)
在平面四边形 中, , , , .
(1)求 ;     
(2)若 ,求 .
18.(12分)
如图,四边形 为正方形, 分别为 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置,且 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
 
19.(12分)
设椭圆 的右焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,点 的坐标为 .
(1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;
(2)设 为坐标原点,证明: .
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 .
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的 作为 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.学.科网
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ,求 ;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 存在两个极值点 ,证明: .
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 中,曲线 的方程为 .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求 的直角坐标方程;
(2)若 与 有且仅有三个公共点,求 的方程.
23.[选修4–5:不等式选讲](10分)
已知 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 时不等式 成立,求 的取值范围.
 

 

参考答案:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A B D A B D C A B A
13.6   14.    15.16   16.
17.(12分)
解:(1)在 中,由正弦定理得 .
由题设知, ,所以 .
由题设知, ,所以 .
(2)由题设及(1)知, .
在 中,由余弦定理得
 
 
 .
所以 .
18.(12分)
解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又 平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点, 的方向为y轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.
 
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE= .又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得 .
则  为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为 ,则 .
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
19.(12分)
解:(1)由已知得 ,l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为 或 .
所以AM的方程为 或 .
(2)当l与x轴重合时, .
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为 , ,
则 ,直线MA,MB的斜率之和为 .
由 得
 .
将 代入 得
 .
所以, .
则 .
从而 ,故MA,MB的倾斜角互补,所以 .
综上, .
20.(12分)
解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此
 .
令 ,得 .当 时, ;当 时, .
所以 的最大值点为 .
(2)由(1)知, .
(i)令 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知 , ,即 .
所以 .
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于 ,故应该对余下的产品作检验.
21.(12分)
解:(1) 的定义域为 , .
(i)若 ,则 ,当且仅当 , 时 ,所以 在 单调递减.
(ii)若 ,令 得, 或 .
当 时, ;
当 时, .所以 在 单调递减,在 单调递增.
(2)由(1)知, 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ,所以 ,不妨设 ,则 .由于
 ,
所以 等价于 .
设函数 ,由(1)知, 在 单调递减,又 ,从而当 时, .
所以 ,即 .
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
【解析】(1)由 , 得 的直角坐标方程为 .
(2)由(1)知 是圆心为 ,半径为 的圆.
由题设知, 是过点 且关于 轴对称的两条射线.记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线为 .由于 在圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点,或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点.学#科网
当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 .
经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公共点.
当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 .
经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点.
综上,所求 的方程为 .
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
【解析】(1)当 时, ,即
故不等式 的解集为 .
(2)当 时 成立等价于当 时 成立.
若 ,则当 时 ;
若 , 的解集为 ,所以 ,故 .
综上, 的取值范围为 .

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