【真题】2018年上海市高考数学试题(附答案和解释)

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【真题】2018年上海市高考数学试题(附答案和解释)

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来源 莲山课
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j.Co M 2018年高考数学真题试卷(上海卷)
一、填空
1.(2018•上海)行列式 的值为        。
【答案】18
【解析】【解答】 =45-21=18
【分析】 =ad-bc交叉相乘再相减。
【题型】填空
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
2.(2018•上海)双曲线 的渐近线方程为        。
【答案】
【解析】【解答】 ,a=2,b=1。故渐近线方程为
【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x轴上,渐近线直线方程为 时, 。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
3.(2018•上海)在(1+x)7的二项展开式中,x²项的系数为        。(结果用数值表示)
【答案】21
【解析】【解答】(1+x)7中有Tr+1= ,故当r=2时, = =21
【分析】注意二项式系数,与各项系数之间差别。考点公式 第r+1项为Tr+1= 。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
4.(2018•上海)设常数 ,函数 ,若 的反函数的图像经过点 ,则a=        。
【答案】7
【解析】【解答】 的反函数的图像经过点 ,故 过点 ,则 , =3,1+a=23所以a=23-1,故a=7.
【分析】原函数 与反函数图像关于y=x对称,如:原函数上任意点 ,则反函数上点为
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
5.(2018•上海)已知复数z满足 (i是虚数单位),则∣z∣=        。
【答案】5
【解析】【解答】∵

 
 
 
故根据复数模长公式 =5
【分析】复数转化关系公式 ,共轭复数去点模长公式
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
6.(2018•上海)记等差数列 的前n项和为Sn,若 ,则S7=        。
【答案】14
【解析】【解答】a3=a1+2d=0
a6+a7=a1+5d+a1+6d=14
故 ,

 
 
故S7=72-5×7=14。
【分析】等差数列的通项公式 ,等差数列前n项和公式Sn= ,求出a1,d。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
7.(2018•上海)已知 ,若幂函数 为奇函数,且在 上递减,则α=_____
【答案】-1
【解析】【解答】a=-2时, =x-2为偶函数,错误
a=-1时, =x-1为奇函数,在 上递减,正确
a=- 时, = 非奇非偶函数,错误
a= 时, = 非奇非偶函数,错误
a=1时, =x在 上递增,错误
a=2时, =x2在 上递增,错误
a=3时, =x3在 上递增,错误
【分析】关于幂函数性质的考查,在第一项限a>0时,  ,a<0时,  ,若a>0为偶数,则 为偶,若a为奇数, 为奇。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
8.(2018•上海)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且| |=2,则 • 的最小值为______
【答案】-3
【解析】【解答】设E(0,y1),F(0,y2),又A(-1,0),B(2,0),
所以 =(1,y1), =(-2,y2)
  =y1 y2-2  ①
又| |=2,
故(y1-y2)2=4
 
又 ≥ ,当 时等号不成立。
故假设 代入①, • =
【分析】本题主要考查向量坐标运算,基本不等式的运用,点与向量坐标互化。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
9.(2018•上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是______(结果用最简分数表示)
【答案】
【解析】【解答】根据古典概率公式
【分析】五个砝码,从中随机选取三个为 ,三个砝码的总质量为9克,可种情况有5,3,1和5,2,2
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
10.(2018•上海)设等比数列{ }的通项公式为an=qn-1(n∈N*),前n项和为Sn。若 ,则q=____________
【答案】3
【解析】【解答】 , ,又 ∴ =1

当|q|>1时,有
当|q|<1时, (舍)
【分析】 (等比数列前n项和公式)
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
11.(2018•上海)已知常数 >0,函数 的图像经过点 、 ,若 ,则 =__________
【答案】6
【解析】【解答】 ,
 ,
故 =1,
又 ,
所以 。
所以 =36, =6( >0)
【分析】函数赋值,分式,指数化简
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
12.(2018•上海)已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足: , , ,则 + 的最大值为__________
【答案】
【解析】【解答】设A(x1,y1),B(x2,y2),
故有x2+y2=1,使A,B在圆上,
又x1x2+y1y2= ,得出 ,
故 ,
构造直线x+y-1=0,故 变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值,当AB平行l直线时取最值,又三角形ABO为等边三角形,故 ,
又  ,
故 最大值为 。
 
【分析】运用构造法,极端假设法解答即可。
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
二、选择题
13.(2018•上海)设P是椭圆 + =1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为(    )
A.2
B.2
C.2
D.4
【答案】C
【解析】【解答】 ,故 ,
故答案为:C
【分析】椭圆定义
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
14.(2018•上海)已知 ,则“ ”是“ <1”的(  )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】【解答】 ,所以 或 <0,所以 不能直接推出 ,
 能直接推出 ,故“ ”是“ <1”的充分非必要条件。
故答案为:A。
【分析】根据小范围 大范围求解。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
15.(2018•上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA₁为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是(   )
 
A.4
B.8
C.12
D.16
【答案】D
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论,找到AA1所在矩形个数,并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系,可得答案为D。
故答案为:D。
【分析】以AA1为底边的直四棱锥,运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
16.(2018•上海)设D是含数1的有限实数集, 是定义在D上的函数,若 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合,则在以下各项中, 的可能取值只能是(    )
A.
B.
C.
D.0
【答案】B
【解析】【解答】根据函数性质定义,A,C,D在单位圆上取点后会出现一对多的情况舍去,故排除A,C,D。
故答案为:B。
【分析】逆时针旋转重合,考虑极坐标可能,代值法求解。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
三、解答题
17.(2018•上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
【答案】由题意可知PB=4,又底面圆O半径R=2,由勾股定理可知PO= ,故PO=2 ,故V= POS= 2  4= 。
 
(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.
 
【答案】向量法求解,建立延OB方向为x轴,OA方向为y轴,OE方向为z轴,O为原点的直角坐标系,P(0,0,4),M(1,1,0),B(2,0,0)
故 =(-1,-1,4), =(2,0,0),
故 ,
又异面直线夹角为 ,
故MP与OB直线夹角为 。
 
【解析】【分析】⑴考查空间几何体中圆锥的问题,涉及母线概念,和圆锥体积的计算,空间几何体的体积和表面积计算作为大纲的高频考点属于基础题型,要求熟练运用;⑵主要考查空间角的问题,计算空间角可以采取向量法或者几何方法,几何方法采用平移法解三角形。本题主要给出答案采取建立空间直角坐标系设点的方法。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
18.(2018•上海)设常数 ,函数 
(1)若 为偶函数,求 的值;
【答案】若 为偶函数,则 = ,有asin(-2x)+2cos2(-x)=asin2x+2cos2x,-asin2x=asin2x, =0.
(2)若  ,求方程 在区间 上的解。
【答案】 ,故 ,
则 +1= , = , ,
又 有 , ,化简为 ,
即  , 。
若求该方程在 上的解,则 ,
即 对应的x的值分别为 。
【解析】【分析】本题主要考查三角函数化简求值的问题;对于三角函数考查同角变换公式中的降次公式和辅助角公式。通过三角函数求特殊值的方法。对于本题还涉及到利用函数奇偶性求函数解析式的问题。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
19.(2018•上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中 的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
 (单位:分钟),
而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
【答案】根据 分段通勤时间可知:当公交群体人的通勤时间少于自驾时间有下列不等式2x+ -90>40(30<x<100),
有x2-65x+900>0,(x-45)(x-20)>0,故x>45或x<20(舍),综上100>x>45,即45<x<100时,公交通勤时间少于自驾群体时间。
(2)求该地上班族S的人均通勤时间 的表达式;讨论 的单调性,并说明其实际意义。
【答案】设该地上班族总人数为n,则自驾人数为n•x%,乘公交人数为n•(1-x%),
因此人均通勤时间 ,整理得
 ,
则当 ,即 时, 单调递减;
当 时, 单调递增。
实际意义:当有32.5%的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短。
适当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容易导致交通拥堵,使得整体效率下降。
【解析】【分析】本题主要考查实际应用题的理解,对于实际应用题,注重理解和阅读能力的考查,近几年高考卷加强了对于读题能力的考查。本题主要是讨论现实生活中的出勤问题,结合当前城市治理的热点问题,注意在思考和下结论的时候应该考虑实际情况。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
20.(2018•上海)设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线 :  ,l与x轴交于点A,与 交于点B,P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
(1)用t表示点B到点F的距离;
【答案】由题意可知如图
 
故设
 
 
 
(2)设t=3, ,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;
【答案】由题中几何关系可知 ,又M为OQ中点,故 。
又由几何关系可知t=3,
有 ,则

又QO直线斜率 ,PF⊥OQ,则PF直线斜率K2=-
则 ,联立曲线
可知 ,即 。
 
(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在 上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由。
【答案】存在;假设存在,则设E
t=8时,P ,其中m∈[0,4];Q(8,n),其中n∈[0,8];且s[0,4],
则在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ中, ,
即 
又n∈[0,8],解得m∈(0,2)
故 =(6,n)=
得到方程组: ,解得 (舍)或 ,故
所以 ;当 时,以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,并有点E在 上。
【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题,⑴涉及的是点到点的距离公式,运用公式解答即可;⑵涉及面积最值问题,面积问题往往需要进行等效转换,转换为弦长或者点到直线距离问题,是作为距离的问题的加深;⑶考查存在性问题,存在性问题往往涉及到运动问题,对于运动问题应当注意抓住变量。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷)
21.(2018•上海)给定无穷数列 ,若无穷数列{bn}满足:对任意 ,都有 ,则称 “接近”。
(1)设 是首项为1,公比为 的等比数列, , ,判断数列 是否与 接近,并说明理由;
【答案】由题意
又 ,故

又 ,故
即 ,故
(2)设数列 的前四项为: =1, =2, =4, =8,{bn}是一个与 接近的数列,记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;
【答案】由题意分析可知
 
 
 
 
根据范围分析 ,根据元素互异性 ,又 可能出现 情况,也可能出现 情况,故根据互异性,M中元素个数为3个或4个
 
(3)已知 是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与 接近,且在b₂-b₁,b₃-b₂,…b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围。
【答案】 为等差数列,又 与 接近,有


 

当 即 中没有正数;当 >-2时,存在 使得  ,即有100个正数,故 >-2。
【解析】【分析】本题涉及到数列中的新定义问题,对于新定义问题,应当结合题意求解;本题主要讨论接近的概念,⑴基础,涉及定义运用证明,⑵结合集合考查,涉及集合中元素互异性问题;⑶涉及接近问题中的极限讨论思想需要进一步思考。
【题型】综合题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷(上海卷) 文章
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