【真题】2018年全国卷II高考数学(文科)试题(含答案和解释)

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【真题】2018年全国卷II高考数学(文科)试题(含答案和解释)

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22018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
一、选择题
1. (2018•卷Ⅱ)i(2+3i)=(   )
A.3-2i   B.3+2i   C.-3-2i    D.-3+2i
【答案】D
【解析】【解答】i(2+3i)=2i-3
故答案为:D
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
2. (2018•卷Ⅱ)已知集合A={1、3、5、7},B={2、3、4、5},则 =(   )
A.{3}   B.{5}   C. {3、5}   D. {1、2、3、4、5、7}
【答案】C
【解析】【解答】解:因为A={1,3,5,7}  B={2,3,4,5}  故A B={3,5}
故答案为:C
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
3. (2018•卷Ⅱ)函数 的图像大致为(   )
A.    B.   
C.     D.
【答案】B
【解析】【解答】f(x)=  因为f(x)= =-f(x)  所以f(x)为奇函数,排除A,又x , , ,但指数增长快些,
故答案为:B
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
4. (2018•卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1, ,则a•(2a-b)=(   )
A.4
B.3
C.2
D.0
【答案】B
【解析】【解答】
故答案为:B
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
5. (2018•卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(   )
A.0.6   B.0.5   C.0.4    D.0.3
【答案】D
【解析】【解答】记选中的2人都是女同学为事件A   则P(A)=
故答案为:D
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
6. (2018•卷Ⅱ)双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,则其渐近线方程为(    )
A.    B.    C.    D.
【答案】A
【解析】【解答】  ,  ,
 
所以渐近线方程为:y= x
故答案为:A
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
7. (2018•卷Ⅱ)在 中, 则 (   )
A.      B.      C.      D.
【答案】A
【解析】【解答】  ,
 
 
 
故答案为:A
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
8. (2018•卷Ⅱ)为计算 ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )
 
A.       B.         C.     D.
【答案】B
【解析】【解答】依题意:i=1时,N=0+ ,T=0+
i=2时,N=0+ + ,T= ,依次下去…
∴i=i+2
故答案为:B
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
9. (2018•卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的重点,则异面直线AE与CD所成角的正切面为( )
A.    B.    C.     D.
【答案】C
【解析】【解答】如图:取中点DD1中点为F,连EF,则EF∥CD
 
∴AE与CD所成的角即为∠AEF
在△AEF中,∠AEF=90°

故答案为:C
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
10. (2018•卷Ⅱ)若 在 是减函数,则a的最大值是( )
A.     B.     C.    D.
【答案】C
【解析】【解答】∵
 
画出图形知:f(x)在[0,a]上单调递减,则a≤
∴amax=
故答案为:C
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
11. (2018•卷Ⅱ)已知 、 是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若 ,且 ,则C的离心率为( )
A.1-    B.2-    C.     D.
【答案】D
【解析】【解答】依题意设 , ,
又 ,
2r=2c
∴c=r

故答案为:D

【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
12.(2018•卷Ⅱ)已知 是定义域为 的奇函数,满足 。若 ,则 (  )
A.-50 B.0 C.2 D.50
【答案】C
【解析】∵f(1-x)=f(1+x)
∴y=f(x)图象关于x=1对称,又是奇函数
∴f(x)是一个周期函数,且T=4
又f(1)=2  f(x)= f(2-x)
∴f(2)=f(0)=0
f(3)=f(-1)=-f(1)=-2   f(4)=f(0)=0
∴f(1)=2,f(2)=0,f(3)=-2,f(4)=0
∴原式f(1)+f(2)+…+ f(50)=f(1)+f(2)=2
故答案为:C
【分析】
【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
二、填空题。
13. (2018•卷Ⅱ)曲线 在点 处的切线方程为_____.
【答案】y=2x-2
【解析】【解答】
 
 
∴在点(0,0)处的切线方程为:y=2(x-1)=2x-2
故答案为:y=2x-2
【分析】
【题型】填空
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
14. (2018•卷Ⅱ)若x,y满足约束条件 ,则 的最大值为_______.
【答案】9
【解析】【解答】依题意:画出可行域
 
当z=x+y,过点C(5,4)时,z有最大值zmax=9
故答案为:9
【分析】
【题型】填空题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
15. (2018•卷Ⅱ)已知 ,则tan =_______
【答案】
【解析】【解答】∵

∴ =
【分析】
【题型】填空题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
16. (2018•卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若 的面积为8,则该圆锥的体积为_______
【答案】
【解析】【解答】依题意可画图如图:
 
SA=SB=SC=l
∠SAC=30°,AC=
 
 
∴l=4
∴AC=4
r=2      h=

故答案为:
【分析】
【题型】填空题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
三、解答题
17. (2018•卷Ⅱ)记Sn为等差数列(an)的前n项和,已知a1=-7,S1=-15.
(1)求{an}的通项公式;
【答案】设数列的公差为d,由题意有:
a1=-7,S3=3a2=-15
a2=-5,d=2
∴an=a1+(n-1)d=-7+2(n-1)=2n-9
所以{an}的通项公式为:an=2n-9
(2)求Sn求Sn的最小值。
【答案】由(1)知数列{an}的前n项和
Sn=n(n-8)=n2-8n=(n-4)2-16≥-16
当n=4时取等,
所以Sn的最小值为-16
【解析】【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
18. (2018•卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图。
 
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量t的两个线性回归模型,根据2000年至2016年的数据(时间变量 的值依次为1,2,…,17)建立模型①: .根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值;
【答案】由题意可知模型①中,2018年对应的t=19,
预测值 =-30.4+13.5×19=226.1亿元
此时基础设施的投资预测值为226.1亿元;
模型②中,2018年对应的t=9,
预测值 =99+17.5×9=256.5亿元
此时基础设施的投资预测值为:256.5亿元;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。
【答案】用模型②预测得到的2018年的基础设施的投资更可靠。因为从折线图上看,基础设施的投资在2009年到2010年发生了很大程度上的突变,所以用模型①预测2018年的会有一定程度的失真。
【解析】【解答】略
【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
19. (2018•卷Ⅱ)如图,在三角锥 中, , , 为 的中点.
 
(1)证明: 平面 ;
【答案】∵PA=PC=AC=4   且O是AC的中点
∴PO⊥AC
∵AB=BC=2 ,AC=4,

∴∠ABC=90°    连接BO
 
则OB=OC
∴PO2+BO2=PB2
PO⊥OB,PO⊥OC
OB∩OC=O
∴PO⊥平面ABC
(2)若点 在棱 上,且二面角MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
【答案】过点C作CH⊥OM交OM于点H
 
又∵PO⊥平面ABC

∴CH的长度为点C到平面POM的距离
在△COM中,CM=  ,OC=2,∠OCM=45°

∴OM=

【解析】【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
20. (2018•卷Ⅱ)设抛物线 的焦点为F,过F点且斜率 的直线 与 交于 两点, .
(1) 求 的方程。
【答案】设直线l 的方程:y=k(x-1)将其代入抛物线C:y2=4x得到:
K2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),△=(2k2+4)-4k2=16k2+16>0
X1+x2=2+
而 ,且k>0
解得:k=1
所以直线l的方程:y=x-1
(2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
【答案】由(1)得A,B的中点坐标为:(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
 
解得: 或
因此所求圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144
【解析】【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
21. (2018•卷Ⅱ)已知函数
(1)若a=3,求 的单调区间
【答案】
当a=3时,
 
当f’(x)﹥0时    或
f’(x)﹤0时,
∴ 的单调递增区间为 ,
 的单调递减区间为
(2)证明: 只有一个零点
【答案】由于 ﹥0,所以 =0等价于
设 ,则
仅当x=0时, =0,所以 在 单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点
又 ,
故f(x)有一个零点
综上所述,f(x)只有一个零点
【解析】【解答】略
【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
四、选考题[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. (2018•卷Ⅱ)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数)
(1)求 和 的直角坐标方程
【答案】曲线C的直角坐标方程:
当cosα≠0,l的直角坐标方程为:
当cosα=0,l的直角坐标方程为:x=1
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率
【答案】将直线l的参数方程代入曲线C得:
 
设l与曲线C交于A,B两点
点(1,2)恰好在直线l上,且是A,B两点的中点
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2
 
则有参数的几何意义:
故 =0
于是直线l的斜率k=tanα=-2
【解析】【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
【试题地区】全国
【试题来源】2018年高考文数真题(全国Ⅱ卷)
五、选考题[选修4-5:不等式选讲]
23. (2018•卷Ⅱ)设函数
(1) 当 时,求不等式 的解集;
【答案】a=1时,时,由
当x≥2时,由f(x)≥0得:6-2x≥0,解得:x≤3;
当-1<x<x时,f(x)≥0;
当x≤-1时,由f(x)≥0得:4+2x≥0,解得x≥-2
所以f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}
(2)若 ,求 的取值范围
【答案】若f(x)≤1,即 恒成立
也就是x∈R, 恒成立
 
当x=2时取等,所以x∈R, 等价于
解得:a≥2或a≤-6
所以a的取值范围(-∞,-6] ∪[2,+∞)
【解析】【分析】
【题型】解答题
【考查类型】高考真题
【试题级别】高三
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