2019高考数学一轮复习(文科)训练题周周测14 (附答案和解释)

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2019高考数学一轮复习(文科)训练题周周测14 (附答案和解释)

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm

周周测14 概率统计、复数、算法初步、推理与证明综合测试             

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2017•新课标全国卷Ⅲ,2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(  )
A.12   B.22
C.2  D.2
答案:C
解析:方法一:由(1+i)z=2i得z=2i1+i=1+i,
∴ |z|=2.
故选C.
方法二:∵ 2i=(1+i)2,
∴ 由(1+i)z=2i=(1+i)2,得z=1+i,
∴ |z|=2.
故选C.
2.(2018•安徽马鞍山二中段考)已知复数z=|(3-i)i|-i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为(  )
A.2-i  B.2+i
C.4-i  D.4+i
答案:B
解析:z=|(3-i)i|-i5=|1+3i|-i=2-i,∴z的共轭复数为2+i.
3.(2018•上海二模)用反证法证明命题“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为(  )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a不能被5整除
答案:B
解析:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.“a,b中至少有一个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”.故选B.
4.(2018•怀化二模)某校高三(1)班共有48人,学号依次为1,2,3,…,48,现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本,已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中,则还有一个同学的学号应为(  )
A.27  B.26
C.25  D.24
答案:A
解析:根据系统抽样的规则——“等距离”抽取,则抽取的号码差相等,易知相邻两个学号之间的差为11-3=8,所以在19与35之间还有27,故选A.
5.如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y^=0.7x+0.35,则下列结论错误的是(  )
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A.回归直线一定过点(4.5,3.5)
B.产品的生产能耗与产量成正相关
C.t的取值必定是3.15
D.A产品每多生产1吨,相应的生产能耗约增加0.7吨
答案:C
解析:由题意知,x=14×(3+4+5+6)=184=4.5,则y=0.7×4.5+0.35=3.5,即回归直线一定过点(4.5,3.5),故A正确;∵0.7>0,∴产品的生产能耗与产量成正相关,故B正确;∵y=14×(2.5+t+4+4.5)=3.5,∴t=3,故C错误;A产品每多生产1吨,相应的生产能耗约增加0.7吨,故D正确.故选C.
6.(2018•洛阳市第一次统一考试)若θ∈[0,π],则sin(θ+π3)>12成立的概率为(  )
A.13  B.12
C.23  D.1
答案:B
解析:依题意,当θ∈[0,π]时,θ+π3∈[π3,4π3],由sin(θ+π3)>12得π3≤θ+π3<5π6,0≤θ<π2.因此,所求的概率等于π2÷π=12,选B.
7.(2018•广东茂名一模)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数,则这个数能被4整除的概率是(  )
A.13  B.12
C.16  D.14
答案:D
解析:所有的两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45,共12个,
能被4整除的数为12,32,52,共3个,
故所求概率P=312=14.故选D.
8.(2018•衡水一模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(  )
 
A.1321  B.2113
C.813  D.138
答案:D
解析:程序在运行过程中各变量的值如下:x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21,此时终止循环.故输出的结果为yx=138,故选D.
9.(2017•新课标全国卷Ⅱ,8)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=(  )
 
A.2  B.3
C.4  D.5
答案:B
解析:当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;
当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;
当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;
当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;
当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;
当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.
故选B.
10.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为(  )
 
A.34  B.23
C.13  D.12
答案:D
解析:因为VF-AMCD=13×SAMCD×DF=14a3,VADF-BCE=12a3,所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312a3=12.
 
11.(2018•湖北八校联考二模)祖暅是我国南北朝时代的数学家,是祖冲之的儿子.他出了一个原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于(  )
A.23πa2b  B.43πa2b
C.23πb2a  D.43πb2a
答案:D
解析:椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,现构成两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出的椭球体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2π×b2×a-13π×b2a=43π×b2a.
12.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(  )
 
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油
答案:D
解析:“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错误;B中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误;C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程为10 km,行驶80 km,消耗8升汽油,C错误;D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.
13.(2018•云南省高三11校跨区调研考试)已知复数z满足z(1-i)=2i,则z的模为________.
答案:2
解析:依题意得z=2i1-i=2i1+i1-i1+i=i(1+i)=-1+i,|z|=|-1+i|=-12+12=2.
14.(2018•湖北荆州中学质检)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示,按照规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是________.
 
答案:6n+2
解析:由图形可知,第1个“金鱼”图需火柴棒8根,第2个“金鱼”图需火柴棒比第1个多6根,第3个“金鱼”图需火柴棒比第2个多6根,∴第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是6n+2.
 
15.(2018•济南一模)2017年2月20日,摩拜单车在某市推出“做文明骑士,周一摩拜单车免费骑”活动,为了解单车的使用情况,记者随机抽取了五个投放区域,统计了半小时内被骑走的单车数量,绘制了如图所示的茎叶图,则该数据的方差为________.
答案:4
解析:由茎叶图得,该组数据分别是87,89,90,91,93,平均数是90,故方差s2=15×(9+1+0+1+9)=4.
16.(2018•宿州模拟)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这一颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为________.
答案:112
解析:基本事件总数为6×6×6,事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18个,所求事件的概率P=186×6×6=112.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知复数z=(1+i1-i)2016+(1-i)2(其中i为虚数单位),若复数z的共轭复数为z-,且z-•z1=4+3i.
(1)求复数z1;
(2)若z1是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值,并求出方程x2-px+q=0的另一个复数根.
解析:(1)因为z=(1+i1-i)2016+(1-i)2=i2016-2i=1-2i,
所以z-=1+2i,所以z1=4+3i1+2i=2-i.5分
(2)由题意知(2-i)2-p(2-i)+q=0,化简得(3-2p+q)+(p-4)i=0,所以3-2p+q=0且p-4=0,解得p=4,q=5,
所以方程为x2-4x+5=0,即(x-2)2=-1=i2,解得另一个复数根为x=2+i.10分
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列,求证:∠B<90°.
证明:假设∠B<90°不成立,即∠B≥90°,从而∠B是△ABC的最大角,∴b是△ABC的最大边,即b>a,b>c.
∴1a>1b,1c>1b,相加得1a+1c>1b+1b=2b,
这与1a+1c=2b矛盾,
故∠B≥90°不成立.因此∠B<90°.
19.(本小题满分12分)
(2018•广东茂名二模)2015年8月12日天津港发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为中等,四级为差),该港口消防安全等级的统计结果如下表所示:
等级 一级 二级 三级 四级
频率 0.30 2m m 0.10
现从该港口随机抽取了n家公司,其中消防安全等级为三级的恰有20家.
(1)求m,n的值;
(2)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家,除去消防安全等级为一级和四级的公司后,再从剩余公司中任意抽取2家,求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
解析:(1)由0.30+2m+m+0.10=1,
解得m=0.20,所以n=20m=100.
(2)由(1)知,利用分层抽样的方法从中抽取10家公司,消防安全等级为一级的有3家,二级的有4家,三级的有2家,四级的有1家.
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家分司分别为a,b,
从中抽取2家公司,不同的结果为Aa,Ab,AB,AC,AD,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共15种,
记“抽取的2家分司的消防安全等级都是二级”为事件M,则事件M包含的结果有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,
所以P(M)=615=25.
20.(本小题满分12分)
(2017•合肥质量检测)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A,B进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采用方案A和方案B进行治疗,统计结果如下:
 有效 无效 合计
使用方案A组 96  120
使用方案B组 72  
合计  32 
(1)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?
附:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
解:(1)列联表如下:
 有效 无效 合计
使用方案A组 96 24 120
使用方案B组 72 8 80
合计 168 32 200
使用方案A组有效的频率为96120=0.8;使用方案B组有效的频率为7280=0.9.
(2)K2=200×96×8-24×722120×80×168×32≈3.571<3.841,
所以,不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关.
21.(本小题满分12分)
(2018•辽宁重点高中协作体模拟)某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查,调查卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名学生的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙3人分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规章制度作深入学习.


(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)求第3,4,5组分别选取的人数;
(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深入学习,之后要再从这6人中随机选取2人全面考查他们对新规章制度的认知程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
解析:(1)这100人的平均得分为x=5×75+802×0.01+80+852×0.07+85+902×0.06+90+952×0.04+95+1002×0.02=87.25.
(2)第3组的人数为0.06×5×100=30;第4组的人数为0.04×5×100=20;第5组的人数为0.02×5×100=10,∴共有60人,用分层抽样在这三个组中选取的人数分别为3,2,1.
(3)记其他3人为丁、戊、己,则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己),共15种情况,其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况,∴所求概率为P=1215=45.
22.(本小题满分12分)
中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作,获得了安哥拉深海油田区块的开采权,集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用.勘探初期数据质料见下表:
井号 1 2 3 4 5 6
坐标(x,y) (km) (2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (1,y)
钻探深度(km) 2 4 5 6 8 10
出油量(L) 40 70 110 90 160 205
(1)若1~6号旧井位置满足线性分布,借助前5组数据所求得的回归直线方程为y^=b^′x+a^′,且b^′=6.5,求a^′,并估计y的预报值;
(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过1,3,5,7号井计算出的b^,a^的值与(1)中b^′,a^′的值的差不超过10%,则使用位置最接近的旧井6(1,y),否则在新位置打井,请判断可否使用旧井?(注:其中b^的计算结果用四舍五入法保留1位小数)
参考数据:i=14x22i-1=94,i=14x2i-1y2i-1=945.
参考公式:回归方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:
b^=i=1nxiyi-nx-•y-i=1nx2i-nx-2,a^=y--b^x-.
解析:(1)利用线性回归方程必经过样本点的中心,求出a^′的值;令线性回归方程中x的值为1,即可求出y的预报值.
由题意可得x-′=5,y-′=50,回归直线必过样本点的中心(x-′,y-′),所以a^′=50-6.5×5=17.5,故回归直线方程为y^=6.5x+17.5.
当x=1时,y=6.5+17.5=24,即y的预报值为24.
(2)依据题设运用线性回归系数进行推断.
由题意可得x-=4,y-=46.25,i=14x22i-1=94,
i=14x2i-1y2i-1=945,
所以b^=i=14x2i-1y2i-1-4x-•y-i=14x22i-1-4x-2=945-4×4×46.2594-4×42≈6.8, a^=y--b^x-=46.25-6.8×4=19.05,所以b^-b^′b^′≈5%,a^-a^′b^′≈9%,均不超过10%,
故可使用位置最接近的旧井6(1,24).

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