2019高考数学复习(文科)训练题周周测13(含答案和解释)

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2019高考数学复习(文科)训练题周周测13(含答案和解释)

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周周测13 解析几何综合测试
             

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x-(m2+1)y-1=0的倾斜角的取值范围是(  )
A.0,π4 
B.0,π4
C.0,π4∪π2,π 
D.π4,π2∪3π4,π
答案:B
解析:直线的斜截式方程为y=1m2+1x-1m2+1,所以斜率k=1m2+1,设直线的倾斜角为α,则tanα=1m2+1,所以0<tanα≤1,解得0<α≤π4,即倾斜角的取值范围是0,π4,选B.
2.已知圆C:x2+y2-2x-2my+m2-3=0关于直线l:x-y+1=0对称,则直线x=-1与圆C的位置关系是(  )
A.相切  B.相交
C.相离  D.不能确定
答案:A
解析:由已知得C:(x-1)2+(y-m)2=4,即圆心C(1,m),半径r=2,因为圆C关于直线l:x-y+1=0对称,所以圆心(1,m)在直线l:x-y+1=0上,所以m=2.由圆心C(1,2)到直线x=-1的距离d=1+1=2=r知,直线x=-1与圆C相切.故选A.
3.(2018•天津二模)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(  )
A.-23  B.-32
C.-49  D.-94
答案:A
解析:设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则4x21+9y21=144,4x22+9y22=144,两式相减得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,又x1+x2=6,y1+y2=4,y1-y2x1-x2=k,代入解得k=-23.
4.(2018•福州质检)过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(  )
A.y=-34  B.y=-12
C.y=-32  D.y=-14
答案:B
解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,以|PC|=1-12+-2-02=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-12.故选B.
5.(2018•湘潭一模)已知点A(0,-6),B(0,6),若对圆(x-a)2+(y-3)2=4上任意一点P,都有∠APB为锐角,则实数a的取值范围是(  )
A.(-55,55)
B.(-55,55)
C.(-∞,-55)∪(55,+∞)
D.(-∞,-55)∪(55,+∞)
答案:D
解析:若对圆(x-a)2+(y-3)2=4上任意一点P,都有∠APB为锐角,则圆(x-a)2+(y-3)2=4与圆x2+y2=36外离,即圆心距大于两圆的半径之和,a2+32>6+2,解得a2>55,a>55或a<-55.选D.
6.(2017•皖南八校联考)抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A,B两点,且这两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则(  )
A.x3=x1+x2
B.x1x2=x1x3+x2x3
C.x1+x2+x3=0
D.x1x2+x2x3+x3x1=0
答案:B
解析:由y=ax2,y=kx+b,消去y得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=ka,x1x2=-ba,令kx+b=0得x3=-bk,所以x1x2=x1x3+x2x3.
7.(2018•广西名校第一次摸底)点P是椭圆x225+y29=1上一点,F是椭圆的右焦点,OQ→=12(OP→+OF→),|OQ→|=4,则点P到抛物线y2=15x的准线的距离为(  )
A.154  B.152
C.15  D.10
答案:B
解析:设P(5cosα,3sinα),由OQ→=12(OP→+OF→),|OQ→|=4,得2+5cosα22+3sinα22=16,即16cos2α+40cosα-39=0,解得cosα=34或cosα=-134(舍去),即点P的横坐标为154,故点P到抛物线y2=15x准线的距离为152.故选B.
8.(2018•天津和平区期末)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=-8x的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若△ABO的面积为43,则双曲线的离心率为(  )
A.72  B.2
C.13  D.4
答案:B
解析:y2=-8x的准线方程为x=2,∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=-8x的准线分别交于A,B两点,△ABO的面积为43,∴12×2×4ba=43,∴b=3a,∴c=2a,∴e=ca=2.故选B.
9.(2018•惠州二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(2,0),且截直线x=2所得弦长为436,则该椭圆的方程为(  )
A.x212+y28=1  B.x28+y212=1
C.x24+y26=1  D.x26+y24=1
答案:D
解析:由已知得c=2,直线x=2过椭圆的右焦点,且垂直于x轴,由x=c,x2a2+y2b2=1可得y=±b2a,∴截直线x=2所得弦长为2b2a,由2b2a=436,a2-b2=2得a2=6,b2=4.
∴所求椭圆的方程为x26+y24=1.
10.(2018•吉林长春外国语学校期中)椭圆x22+y2=1的两个焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,则PF1→•PF2→的取值范围是(  )
A.[-1,1]  B.[-1,0]
C.[0,1]  D.[-1,2]
答案:C
解析:由椭圆方程得F1(-1,0),F2(1,0),设P(x,y),∴PF1→=(-1-x,-y),PF2→=(1-x,-y),则PF1→•PF2→=x2+y2-1=x22∈[0,1],故选C.
11.(2018•四川广元二诊)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一焦点与抛物线y2=8x的焦点F相同,若抛物线y2=8x的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,P为双曲线左支上一动点,Q(1,3),则|PF|+|PQ|的最小值为(  )
A.42  B.43
C.4  D.23+32
答案:D
解析:由题意,抛物线的焦点坐标为(2,0),则双曲线的一个焦点坐标为(2,0),渐近线方程为bx±ay=0,∵抛物线y2=8x的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,∴2bb2+a2=1,∵a2+b2=4,∴a=3,b=1,∴双曲线方程为x23-y2=1.设双曲线的左焦点为F′,则|PF|=23+|PF′|,∴|PF|+|PQ|=23+|PF′|+|PQ|≥23+|F′Q|=23+32,当且仅当Q,P,F′共线时,取等号,即|PF|+|PQ|的最小值为23+32,故选D.
12.(2018•广西玉林陆川中学期中)从抛物线y2=4x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA,PB,A,B为切点.若直线AB的倾斜角为π3,则P点的纵坐标为(  )
A.33  B.233
C.433  D.23
答案:B
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(-1,y),则kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2.
∵直线AB的倾斜角为π3,∴4y1+y2=3,∴y1+y2=433.
切线PA的方程为y-y1=2y1(x-x1),切线PB的方程为y-y2=2y2(x-x2),即切线PA的方程为y=2y1x+12y1,切线PB的方程为y=2y2x+12y2.
∴y1,y2是方程t2-2yt+4x=0两个根,∴y1+y2=2y=433.∴y=233.故选B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.
13.(2018•湖南株洲模拟)若点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是________.
答案:x-y-3=0
解析:圆(x-1)2+y2=25的圆心为C(1,0),点P(2,-1)为弦AB的中点,PC的斜率为0+11-2=-1,∴直线AB的斜率为1,由点斜式得直线AB的方程为y+1=1×(x-2),即x-y-3=0.
14.(2018•桂林一模)已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为________.
答案:165
解析:由题意知,a=3,b=4,c=5,从而|F1F2|=10,||PF1|-|PF2||=6.设|PF1|与|PF2|中较小的值为s,则较大的值为6+s,因为PF1⊥PF2,所以s2+(6+s)2=100,得s2+6s=32.由△PF1F2为直角三角形,知点P到x轴的距离d=s6+s10=3210=165.
15.(2018•陕西延安黄陵中学模拟)抛物线M:y2=2px(p>0)与椭圆N:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同的焦点F,抛物线M与椭圆N交于A,B,若F,A,B共线,则椭圆N的离心率等于________.
答案:2-1
 
解析:如图所示,由F,A,B共线,知AF⊥x轴,由抛物线M:y2=2px(p>0)与椭圆N:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同的焦点F,得p2=c.把x=p2代入抛物线方程可得y2=2p•p2,解得y=±p.
∴Ap2,p,即A(c,2c).将A(c,2c)的坐标代入椭圆的方程可得c2a2+4c2b2=1,又b2=a2-c2,
∴c2a2+4c2a2-c2=1,由椭圆的离心率e=ca,整理得e4-6e2+1=0,且0<e<1,解得e2=3-22,
∴e=2-1.

16.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,P是抛物线上不同于顶点的任意一点,过点P作抛物线的切线l与x轴交于点Q,则PQ→•FQ→=________.
答案:0
解析:设点P的坐标为(x0,y0)(x0≠0),则x20=2py0.
对y=x22p求异,得y′=xp,所以过点P的切线方程为y-y0=x0p(x-x0),
令y=0,得x=x0-py0x0=x02,即Qx02,0,
所以PQ→=x02-x0,-y0=-x02,-y0.
又F0,p2,所以FQ→=x02,-p2,
所以PQ→•FQ→=-x02,-y0•x02,-p2=-x204+py02=-x204+x204=0.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).
(1)若a=3,求过点M作圆O的切线的切线长;
(2)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.
解析:(1)若a=3,则点M(1,3).
点M(1,3)与圆心O(0,0)的距离为|OM|=12+32=10,
所以切线长为l=|OM|2-r2=102-22=6.
(2)由题意知点M在圆O上,
所以12+a2=4,解得a=±3.
当a=3时,点M(1,3),根据点在圆上的切线公式可知切线方程为x+3y=4(或者kOM=3,切线的斜率为-13,再由点斜式得到切线方程);
当a=-3时,点M(1,-3),切线方程为x+(-3)y=4.
因此,所求的切线方程为x+3y-4=0或x-3y-4=0.
18.(本小题满分12分)
(2018•河南高中毕业年级考前预测)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-3y+6=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于点B,且动点N满足AB→=3 NB→,设动点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B,D两点,求△OBD面积的最大值.
解析:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0),
由题意得r=|6|1+3=3,所以圆M的方程为x2+y2=9.
由题意,AB→=3 NB→,所以(0,-y0)=3(x0-x,-y),
所以x=x0,y=33y0,即x0=x,y0=3y.
将A(x,3y)代入x2+y2=9,得动点N的轨迹C的方程x29+y23=1.
(2)由题意可设直线l:3x+y+m=0,设直线l与椭圆x29+y23=1交于B(x1,y1),D(x2,y2),联立方程y=-3x-m,x2+3y2=9,得10x2+63mx+3m2-9=0,
Δ=108m2-10×4(3m2-9)>0,解得m2<30,
x1,2=-63m±360-12m220=-33m±90-3m210.
又因为点O到直线l的距离d=|m|2,|BD|=2|x1-x2|=2×290-3m210,
所以S△OBD=12•|m|2•2×290-3m210=m290-3m210=3m230-m210≤332(当且仅当m2=30-m2,即m2=15时等号成立).所以△OBD面积的最大值为332.
19.(本小题满分12分)
(2018•上海崇明一模)已知点F1,F2为双曲线C:x2-y2b2=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1,P2,求PP1→•PP2→的值.
解析:(1)设F2,M的坐标分别为(1+b2,0),(1+b2,y0)(y0>0),
因为点M在双曲线C上,所以1+b2-y20b2=1,则y0=b2,
所以|MF2|=b2.
在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,|MF2|=b2,所以|MF1|=2b2.
由双曲线的定义可知:|MF1|-|MF2|=b2=2,
故双曲线C的方程为x2-y22=1.
(2)由条件可知:两条渐近线分别为l1:2x-y=0,l2:2x+y=0.
设双曲线C上的点P(x0,y0),两条渐近线的夹角为θ,由题意知cosθ=13.由点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=|2x0-y0|3,|PP2|=|2x0+y0|3.
因为P(x0,y0)在双曲线C:x2-y22=1上,所以2x20-y20=2.
所以PP1→•PP2→=|2x0-y0|3•|2x0+y0|3cosθ=|2x20-y20|3•13=29.
20.(本小题满分12分)
(2018•吉林二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-2y+4=0相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得1|AM|2+1|BM|2为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
解析:(1)联立方程,有x-2y+4=0,y2=2px,消去x,得y2-22py+8p=0,
由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,解得p=4.
所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0).
直线l:x=ty+m,由x=ty+m,y2=8x,得y2-8ty-8m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
有y1+y2=8t,y1y2=-8m.
|AM|2=(x1-m)2+y21=(t2+1)y21,
|BM|2=(x2-m)2+y22=(t2+1)y22.
1|AM|2+1|BM|2=1t2+1y21+1t2+1y22=1t2+1•y21+y22y21y22=1t2+1•4t2+m4m2,
当m=4时,1|AM|2+1|BM|2为定值,所以M(4,0).
21.(本小题满分12分)
(2017•天津卷,19)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为62,求直线AP的方程.
解析:(1)设点F的坐标为(-c,0).
依题意,得ca=12,p2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,进而得b2=a2-c2=34.
所以椭圆的方程为x2+4y23=1,抛物线的方程为y2=4x.
(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P-1,-2m,故点Q-1,2m.
将x=my+1与x2+4y23=1联立,消去x,
整理得(3m2+4)y2+6my=0,
解得y=0或y=-6m3m2+4.
由点B异于点A,可得点B-3m2+43m2+4,-6m3m2+4.
由点Q-1,2m,
可得直线BQ的方程为
-6m3m2+4-2m(x+1)--3m2+43m2+4+1y-2m=0,
令y=0,解得x=2-3m23m2+2,故点D2-3m23m2+2,0.
所以|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2.
又因为△APD的面积为62,
故12•6m23m2+2•2|m|=62,
整理得3m2-26|m|+2=0,
解得|m|=63,所以m=±63.
所以直线AP的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.
22.(本小题满分12分)
(2018•安徽合肥一模)已知点F为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x4+y2=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|PA|•|PB|,求实数λ的取值范围.
解析:(1)由题意得a=2c,则椭圆E为x24c2+y23c2=1,联立
x24+y23=c2x4+y2=1,得x2-2x+4-3c2=0.
∵直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0,得c2=1,
∴椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)得M1,32,
∵直线x4+y2=1与y轴交于P(0,2),
∴|PM|2=54,
当直线l与x轴垂直时,|PA|•|PB|=(2+3)×(2-3)=1,
由λ|PM|2=|PA|•|PB|,得λ=45,
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立y=kx+2,3x2+4y2-12=0,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
依题意得,x1x2=43+4k2,且Δ=48(4k2-1)>0,
∴|PA|•|PB|=1+k2•|x1|•1+k2•|x2|=(1+k2)•43+4k2=1+13+4k2=54λ,
∴λ=451+13+4k2,
∵k2>14,∴45<λ<1.
综上所述,λ的取值范围是45,1.

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