2018厦门市高中数学毕业第二次质量检查试题(文附答案)

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2018厦门市高中数学毕业第二次质量检查试题(文附答案)

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福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题
数学(文)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 (   )
A.           B.         C.        D. 
2.复数 满足 ,则 在复平面内对应的点位于(   )
A.第一象限         B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限
3.已知 , ,则(   )
A.           B.       
C.           D.
4.如图所示的风车图案中,黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(   )
 
A.           B.         C.         D. 
5.等差数列 的公差为1, 成等比数列,则 的前10项和为(   )
A.50         B.         C.45       D. 
6.已知拋物线 的焦点为 ,过 的直线与曲线 交于 两点, ,则 中点到 轴的距离是(   )
A.1         B.2       C.3       D.4
7.如图,在正方体 中, 分别是 的中点,则下列命题正确的是(   )
 
A.           B.         C. 平面         D. 平面
8.如图是为了计算 的值,则在判断框中应填入(   )
 
A.           B.        C.        D.
9.函数 的周期为 , , 在 上单调递减,则 的一个可能值为(   )
A.           B.         C.         D. 
10.设函数 若 恒成立,则实数 的取值范围为(   )
A.           B.         C.         D. 
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长,其外接球体积为 ,三视图如图所示,则其侧视图的面积为(   )
 
A.           B.2       C.4       D.6
12.设函数 ,直线 是曲线 的切线,则 的最小值是(   )
A.           B.1       C.         D. 
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 与 的夹角为 , ,则           .
14.已知 满足约束条件 则 的最小值为          .
15.若双曲线 的渐近线与圆 无交点,则 的离心率的取值范围为          .
16.已知数列 满足 , , 是递增数列, 是递减数列,则           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在 中,角 所对的边分别为 , .
(1)求 ;
(2)若 , 的周长为 ,求 的面积.
18.在如图所示的四棱锥 中,底面 为菱形, , 为正三角形.
 
(1)证明: ;
(2)若 ,四棱锥的体积为16,求 的长.
19.为提高玉米产量,某种植基地对单位面积播种数 与每棵作物的产量 之间的关系进行研究,收集了 11块实验田的数据,得到下表:
 
技术人员选择模型 作为 与 的回归方程类型,令 ,相关统计量的值如下表:
 
由表中数据得到回归方程后进行残差分析,残差图如图所示:
 
(1)根据残差图发现一个可疑数据,请写出可疑数据的编号(给出判断即可,不必说明理由);
(2)剔除可疑数据后,由最小二乘法得到 关于 的线性回归方程 中的 ,求 关于 的回归方程;
(3)利用(2)得出的结果,计算当单位面积播种数 为何值时,单位面积的总产量 的预报值最大?(计算结果精确到0.01)
附:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 , , .
20.过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的直线 ,直线 与 交于 两点,直线 与 交于 两点.当直线 的斜率为0时, .
(1)求椭圆 的方程;
(2)求四边形 面积的取值范围.
21.已知函数 , .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 ,曲线 ( 为参数).以坐标原点为极点,以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 的极坐标方程;
(2)射线 的极坐标方程为 ,若 分别与 交于异于极点的 两点,求 的最大值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 ,其中 .
(1)求函数 的值域;
(2)对于满足 的任意实数 ,关于 的不等式 恒有解,求 的取值范围.

 


试卷答案
一、选择题
1-5: BDCBA      6-10: BCADA     11、12:DC
二、填空
13.            14. 2           15.             16. 
三、解答题
17. 解:(1)因为 ,
由正弦定理得
所以 
所以 ,且
所以 .
(2)因为 ,所以 ,
所以 , , 或 
解得: 或 
因为 ,所以
所以, 
所以
因为 ,所以
所以 .
18.(1)证明:取 中点为 ,连接
∵底面 为菱形, ,
∴ 为正三角形,

又∵ 为正三角形,

又∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ,
∵ 平面 ,
∴ .
 
(2)法一:设 ,则 ,
在正三角形 中, ,同理 ,
∴ ,
∴ ,
又∵ , 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ,
 
法二:设 ,则 ,
在正三角形 中, ,同理 ,
∴ ,
∴ ,
又∵ , 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ,
∴ ,
∴ ,      
连接 ,
∵在 中, ,
∴由余弦定理得 , 
∴在 中, .
19.解:(1)可疑数据为第10组 
(2)剔除数据 后,在剩余的10组数据中
 ,
所以
所以 关于 的线性回归方程为
则 关于 的回归方程为 
(3)根据(2)的结果并结合条件,单位面积的总产量 的预报值
 
 
 
当且仅当 时,等号成立,此时 ,
即当 时,单位面积的总产量 的预报值最大,最大值是1.83.
20.解:(1)由已知得:
将 代入 得 ,所以 ,所以
所以椭圆
(2)①当直线 —条的斜率为0,另一条的斜率不存在时,
 .
②当两条直线的斜率均存在时,设直线 的方程为 ,
则直线 的方程为 .设 
由 ,得
 ,
 
(或: , )
用 取代 得

 
 
又 ,当且仅当 取等号
所以
所以
综上:四边形 面积的取值范围是 .
 
21.解:(1)依题意,
①当 时, ,所以 在 上单调递增; 
②当 时, , ,且 ,
令 得 ,
令 得 或 ,
此时 在 上单调递增;在 上单调递减
综上可得,
① 时, 在 上单调递增;
②当 时, 在 上单调递增;
在 上单调递减
(2)法一:
原不等式可化为 ,即
记 ,只需 即可.
①当 时,由 可知 , ,
所以 ,命题成立. 
②当 时,显然 在 上单调递减,
所以
所以 在 上单调递减,从而 ,命题成立.
③当 时,
显然 在 上单调递减,
因为 ,
 
所以在 内,存在唯一的 ,使得 ,且当 时, 
即当 时, ,不符合题目要求,舍去. 
综上所述,实数 的取值范围是 .
法二:
原不等式可化为 ,即
记 ,只需 即可.
可得 ,
令 ,则
所以 在 上单调递减,所以 . 
 时, ,从而 ,所以 ,
所以 在 上单调递减,
所以 ,原不等式成立
②当 时, ,
 ,
所以存在唯一 ,使得 ,且当 时, ,
此时 , 在 上单调递增,
从而有 ,不符合题目要求,舍去. 
综上所述,实数 的取值范围是 .
22.解:(1) ,∵ ,
故 的极坐标方程: . 
 的直角坐标方程: , 
∵ ,故 的极坐标方程: .
(2)直线 分别与曲线 联立,得到
 ,则 ,
 ,则 ,

 
令 ,则
所以 ,即 时, 有最大值 .
23.解:(1)∵ ,∴

故 .
(2)∵ ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ .
当且仅当 时, ,∴
关于 的不等式 恒有解
即 ,故 ,又 ,所以 . 


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