2018高考数学一轮复习(文科)训练题:周周测 5 (有答案和解释)

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2018高考数学一轮复习(文科)训练题:周周测 5 (有答案和解释)

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周周测5 三角函数综合测试
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知P(sin40°,-cos140°)为锐角α终边上的点,则α=(  )
A.40° B.50°
C.70°  D.80°
答案:B
解析:∵P(sin40°,-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos90°+50sin90°-50°=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.
2.若角θ与角φ的终边关于直线y=x对称,且θ=-π3,则sinφ=(  )
A.-32  B.32
C.-12   D.12
答案:D
解析:∵角θ与角φ的终边关于直线y=x对称,因而θ+φ=2kπ+π2,k∈Z,则φ=2kπ+5π6,k∈Z,因而sinφ=12.
3.(2018•湖北黄石调研)已知向量a=(1,3),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα=(  )
A.3  B.-3
C.13   D.-13
答案:C
解析:∵a∥b,∴3sinα=cosα,则tanα=13.故选C.
4.(2018•四川遂宁)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P12,y,则sinπ2+α=(  )
A.1  B.12
C.-32  D.-12
答案:B
解析:∵点P12,y在单位圆上,∴y=±32,∴α=π3+2kπ,k∈Z或-π3+2kπ,k∈Z.
∴sinπ2+α=cosα=cos±π3+2kπ=cosπ3=12.故选B.
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f(1)的值为(  )
 
A.-3     B.-1
C.1        D.3
答案:B
解析:根据题中所给图象可知,函数f(x)的最小正周期T=2×23+13=2,A=2,ω=2πT=π,f23=2sinπ×23+φ=-2,又0<φ<π,所以φ=5π6,所以f(x)=2sinπx+56π,所以f(1)=2sinπ+5π6=-1,故选B.
6.(2018•洛阳一模)将函数f(x)=2sinωx+π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位长度后得到g(x)的图象,若函数g(x)在区间-π6,π3上为增函数,则ω的最大值为(  )
A.3  B.2
C.32  D.54
答案:C
解析:由题意知,g(x)=2sinωx-π4ω+π4=2sinωx,由对称性,得π3--π3≤12×2πω,即ω≤32,则ω的最大值为32.
7.(2018•陕西西安一模)已知α∈R,sinα+2cosα=102,则tan2α=(  )
A.43  B.34
C.-34  D.-43
答案:C
解析:∵sinα+2cosα=102,∴sin2α+4sinα•cosα+4cos2α=52.用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α=sin2αcos2α=-34.故选C.
8.(2017•新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是(  )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
答案:D
解析:本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.
首先利用诱导公式化异名为同名.
y=sin2x+2π3=cos2x+2π3-π2=cos2x+π6=cos2x+π12,
由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变;由y=cos2x的图象得到y=cos2x+π12的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移π12个单位长度,故选D.
9.设α∈(0,π),sinα+cosα=13,则cos2α的值是(  )
A.179  B.-223
C.-179  D.179或-179
答案:C
解析:∵sinα+cosα=13,∴1+2sinαcosα=19,
即2sinαcosα=-89.
∵α∈(0,π),∴sinα>0,cosα<0,
∴(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=179,
∴cosα-sinα=-173,
∴cos2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-179.
10.(2018•河北衡水中学三调)若α∈π2,π,且3cos2α=sinπ4-α,则sin2α的值为(  )
A.-118  B.118
C.-1718  D.1718
答案:C
解析:由3cos2α=sinπ4-α,得3(cos2α-sin2α)=22(cosα-sinα).又∵α∈π2,π,∴cosα-sinα≠0,∴(cosα+sinα)=26.
两边平方,得1+2sinαcosα=118,∴sin2α=-1718.故选C.
11.(2018•湖北部分重点中学联考)4sin80°-cos10°sin10°=(  )
A.3  B.-3
C.2  D.22-3
答案:B
解析:4sin80°-cos10°sin10°=4sin80°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin30°-10°-cos10°sin10°=-3.故选B.
12.(2018•云南民族中学一模)已知tanα=2,则2sin2α+1cos2α-π4的值是(  )
A.53  B.-134
C.135  D.134
答案:D
解析:∵tanα=2,∴2sin2α+1cos2α-π4=2sin2α+sin2α+cos2αcos2α-π2=3sin2α+cos2αsin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα=3tan2α+12tanα=3×22+12×2=134.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm,则这个圆心角所在的扇形面积是________.
答案:4 cm2
解析:lr=|α|⇒4r=2⇒r=2,∴S=12lr=4.
14.已知A为三角形的内角,sinA=45,则5cosA+23tanA-2=________.
答案:52或16
解析:由A为三角形的内角,sinA=45,得cosA=35,tanA=43或cosA=-35,tanA=-43,因而5cosA+23tanA-2=3+24-2=52或5cosA+23tanA-2=-3+2-4-2=16.
15.(2018•洛阳一模)已知sinα-π3=14,则cosπ3+2α=________.
答案:-78
解析:cosπ3+2α=cosπ-2π3+2α
=-cos2π3-α=2sin2π3-α-1=-78.
16.(2017•新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+3cosx-34x∈0,π2的最大值是________.
答案:1
解析:本题主要考查三角函数的最值.
由题意可得f(x)=-cos2x+3cosx+14=-cosx-322+1.
∵x∈0,π2,∴cosx∈[0,1].
∴当cosx=32时,f(x)max=1.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
(2018•湖北百所重点校联考)设α∈0,π3,满足6sinα+2cosα=3.
(1)求cosα+π6的值;
(2)求cos2α+π12的值.
解:(1)∵6sinα+2cosα=3,∴sinα+π6=64.
∵α∈0,π3,∴α+π6∈π6,π2,
∴cosα+π6=104.
(2)由(1)可得
cos2α+π3=2cos2α+π6-1=2×1042-1=14.
∵α∈0,π3,∴2α+π3∈π3,π,
∴sin2α+π3=154.
∴cos2α+π12=cos2α+π3-π4=cos2α+π3cosπ4+sin2α+π3sinπ4=30+28.
18.(本小题满分12分)
(2017•江苏卷)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a•b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解析:(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.
若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.
于是tanx=-33.
又x∈[0,π],所以x=5π6.
(2)f(x)=a•b=(cosx,sinx)•(3,-3)
=3cosx-3sinx=23cosx+π6.
因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤cosx+π6≤32.
于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-23.

19.(本小题满分12分)
(2018•安徽合肥检测)已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在0,π2上的单调性.
解析:(1)∵f(x)=sinωx-cosωx=2sinωx-π4,且T=π,
∴ω=2.于是f(x)=2sin2x-π4,令2x-π4=kπ+π2,得x=kπ2+3π8(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+3π8(k∈Z).
(2)令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为kπ-π8,kπ+3π8(k∈Z).
注意到x∈0,π2,令k=0,得函数f(x)在0,3π8上的单调递增;同理,f(x)在3π8,π2上单调递减.
20.(本小题满分12分)
(2018•北京怀柔区模拟)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间-π4,π4上的最大值和最小值.
解:(1)∵f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x-1
=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x
=2sin2x+π4,
∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由(1)可知,f(x)=2sin2x+π4.
∵x∈-π4,π4,∴2x+π4∈-π4,3π4,
∴sin2x+π4∈-22,1.故函数f(x)在区间-π4,π4上的最大值和最小值分别为2,-1.
21.(本小题满分12分)
(2018•山东潍坊期中联考)设函数f(x)=sinωx•cosωx-3cos2ωx+32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2+4.
(1)求ω的值;
(2)若函数y=f(x+φ)0<φ<π2是奇函数,求函数g(x)=cos(2x-φ)在[0,2π]上的单调递减区间.
解:(1)f(x)=sinωx•cosωx-3cos2ωx+32=12sin2ωx-31+cos2ωx2+32=12sin2ωx-32cos2ωx=sin2ωx-π3.
设T为f(x)的最小正周期,由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2+4,得T22+[2f(x)max]2=π2+4.
∵f(x)max=1,∴T22+4=π2+4,整理得T=2π.
又∵ω>0,T=2π2ω=2π,∴ω=12.
(2)由(1)可知f(x)=sinx-π3,∴f(x+φ)=sinx+φ-π3.
∵y=f(x+φ)是奇函数,∴sinφ-π3=0.
又∵0<φ<π2,
∴φ=π3,∴g(x)=cos(2x-φ)=cos2x-π3.
令2kπ≤2x-π3≤2kπ+π,k∈Z,则kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,
∴函数g(x)的单调递减区间是kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z.
又∵x∈[0,2π],∴当k=0时,g(x)的单调递减区间为π6,2π3;
当k=1时,g(x)的单调递减区间为7π6,5π3.
∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是π6,2π3,7π6,5π3.
22.(本小题满分12分)
(2018•黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f(x)=cos2x-π3+2sinx-π4sinx+π4.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将y=f(x)的图象向左平移π3个单位长度,再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=g(x)的图象.若函数y=g(x)在区间π2,13π4上的图象与直线y=a有三个交点,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=cos2x-π3+2sinx-π4sinx+π4
=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)
=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x
=12cos2x+32sin2x-cos2x
=sin2x-π6.
令-π2+2kπ≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是kπ-π6,kπ+π3,k∈Z.
(2)将f(x)的图象向左平移π3个单位长度,得g1(x)=sin2x+π3-π6=sin2x+π2=cos2x的图象,再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得g(x)=cosx的图象.作函数g(x)=cosx在区间π2,13π4上的图象,作直线y=a.根据图象知,实数a的取值范围是-22,0.

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