2018榆林市高三第四次模拟考试数学试题(文带答案)

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2018榆林市高三第四次模拟考试数学试题(文带答案)

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榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷
高三数学(文科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 (    )
A.          B.        C.        D.
2.已知复数 , ,则 (    )
A.          B.        C.        D.
3.已知 上的奇函数 满足:当 时, ,则 (    )
A.1         B.-1       C.2        D.-2
4.某中学有高中生3000人,初中生2000人,男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是(    )
 
A.12         B.15       C.20         D.21
5.已知等差数列 中, , ,则 (    )
A.1         B.3       C.5         D.7
6.已知实数 满足 ,则 的最小值为(    )
A.-13         B.-11       C.-9         D.10
7.将函数 的图象向右平移 个单位长度后,再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数 的图象,则 (    )
A.          B.        C.          D.
8.某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为1,则该几何体的体积为(    )
 
A.          B.        C.          D.
9.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数 被3除余2,被7除余4,被8除余5,求 的最小值.执行该程序框图,则输出的 (    )
 
A.50         B.53       C.59         D.62
10.设函数 ,则不等式 成立的 的取值范围是(    )
A.          B.        C.          D.
11.如图,在正方体 中, 分别为 的中点,点 是底面 内一点,且 平面 ,则 的最大值是(    )
 
A.          B.2       C.          D.
12.已知双曲线 的离心率 ,对称中心为 ,右焦点为 ,点 是双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点, , 的面积为 ,则双曲线 的方程为(    )
A.          B.        C.          D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 , ,若 ,则           .
14.已知函数 ,在区间 上任取一个实数 ,则 的概率为          .
15.已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则           .
16.已知抛物线 的焦点为 , 为坐标原点,点 , ,射线 分别交抛物线 于异于点 的点 ,若 三点共线,则           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在 中, 分别是内角 的对边,已知 .
(1)求 的大小;
(2)若 , ,求 的面积 .
18. 2018年2月22日,在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况,收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据(单位:小时).又在100位女生中随机抽取20个人,已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.
 
(1)将这20位女生的时间数据分成8组,分组区间分别为 , ,…, , ,完成下图的频率分布直方图;
 
(2)以(1)中的频率作为概率,求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率;
(3)以(1)中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数,已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.
 
 
附: ( ).
19. 如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, , , , , 是 上一点,且 , .
(1)证明: 平面 ;
(2)若三棱锥 的体积为3,求四棱锥 的体积.
 
20. 已知椭圆 的焦距为 ,且 ,圆 与 轴交于点 为椭圆 上的动点, , 面积最大值为 .
(1)求圆 与椭圆 的方程;
(2)设圆 的切线 交椭圆 于点 ,求 的取值范围.
21. 已知函数 .
(1)讨论 在 上的单调性;
(2)若 , ,求正数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为 .
(1)求圆 的参数方程;
(2)设 为圆 上一动点, ,若点 到直线 的距离为 ,求 的大小.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(1)求不等式 的解集;
(2)若恰好存在4个不同的整数 ,使得 ,求 的取值范围.


榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷
高三数学参考答案(文科)
一、选择题
1-5:DBCAD       6-10:BAABC      11、12:CD
二、填空
13.           14.            15.            16.2
三、解答题
17.解:(1)因为 ,
所以 ,即 .
又 ,
所以 .
(2)因为 , ,
所以 .
由 ,可得 .
又  ,
所以  .
18.解:(1)由题意知样本容量为20,频率分布表如下:
 
频率分布直方图为:
 
(2)因为(1)中 的频率为 ,
所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为 .
(3)因为(1)中 的频率为 ,故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是 .
所以累计观看时间与性别列联表如下:
 
结合列联表可算得
  ,
所以,有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.
19.(1)证明:连接 交 于 ,连接 ,
∵ ,∴ ,
又 ,∴ ,∴ .
∵ 平面 , 平面 ,∴ 平面 .
 
(2)解:∵ , ,∴ .
又 平面 ,∴ .
∵ ,∴ 平面 .
∴  .
∴  .
20.解:(1)因为 ,所以 .①
因为 ,所以点 为椭圆的焦点,所以, .
设 ,则 ,所以 ,
当 时, ,②
由①,②解得 ,所以 , ,
所以圆 的方程为 ,椭圆 的方程为 .
(2)①当直线 的斜率不存在时,不妨取直线 的方程为 ,解得 , , .
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , , .
因为直线 与圆相切,所以 ,即 ,
联立 ,消去 可得 ,
  , , .
 .
令 ,则 ,所以 , ,
所以 ,所以 .
综上, 的取值范围是 .
21.解:(1)  ,
当 时, , 在 上单调递减.
当 时,若 , ;若 , .
∴ 在 上单调递减,在 上单调递增.
当 时, , 在 上单调递减.
当 时,若 , ;若 , .
∴ 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上可知,当 时, 在 上单调递减;当 时,在 上单调递减,在 上单调递增;当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)∵ ,∴当 时, ;当 时, .
∴ .
∵ , ,∴ ,即 .
设 , ,
当 时, ;当 时, .
∴ ,
∴ .
22.解:(1)∵ ,∴ ,∴ ,
即 ,∴圆 的参数方程为 ( 为参数).
(2)由(1)可设 , ,
 的直角坐标方程为 ,
则 到直线 的距离为
  ,
∴ ,∵ ,∴ 或 ,
故 或 .
23.解:(1)由 ,得 ,
不等式两边同时平方得, ,
即 ,解得 或 .
所以不等式 的解集为 .
(2)设  ,
作出 的图象,如图所示,
 
因为 , ,
又恰好存在4个不同的整数 ,使得 ,
所以 即 ,
故 的取值范围为 .

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