2018榆林市高三数学第四次模拟考试题(理有答案)

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2018榆林市高三数学第四次模拟考试题(理有答案)

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5 Y k j.CoM

榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷
高三数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 (    )
A.          B.        C.        D.
2.若复数 ,则 (    )
A.1         B.        C.        D.2
3.已知 上的奇函数 满足:当 时, ,则 (    )
A.1         B.-1       C.2        D.-2
4.某中学有高中生3000人,初中生2000人,男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是(    )
 
A.12         B.15       C.20         D.21
5.已知 , ,则 (    )
A.          B.        C.7         D.-7
6.已知实数 满足 ,则 的最大值与最小值之和为(    )
A.-21         B.-2       C.-1         D.1
7.将函数 的图象向右平移 个单位长度后,再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数 的图象,则 (    )
A.          B.        C.          D.
8.已知三棱锥 中, 平面 , , , ,则三棱锥 外接球的表面积为(    )
A.          B.        C.          D.
9.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数 被3除余2,被7除余4,被8除余5,求 的最小值.执行该程序框图,则输出的 (    )
 
A.50         B.53       C.59         D.62
10.某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为1,则该几何体的体积为(    )
 
A.          B.        C.          D.
11.已知双曲线 的离心率 ,对称中心为 ,右焦点为 ,点 是双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点, , 的面积为 ,则双曲线 的方程为(    )
A.          B.        C.          D.
12.设实数 ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则 的最大值是(    )
A.          B.        C.          D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 , ,若 ,则           .
14.若 的展开式中 的系数为80,则           .
15.在 中,内角 所对的边分别为 ,且 的外接圆半径为1,若 ,则 的面积为          .
16.已知抛物线 的焦点为 , 为坐标原点,点 , ,射线 分别交抛物线 于异于点 的点 ,若 三点共线,则           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知正项数列 是公差为2的等差数列,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
18. 2018年2月22日,在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口 .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ,摔倒的概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后,在最后一圈顺利通过的交接口数.
(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率;
(2)求 的分布列及数学期望 .
 
19. 如图,在三棱锥 中, 为棱 上的任意一点, 分别为所在棱的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若 平面 , , , ,当二面角 的平面角为 时,求棱 的长.
 
20. 已知椭圆 的焦距为 ,且 ,圆 与 轴交于点 为椭圆 上的动点, , 面积最大值为 .
(1)求圆 与椭圆 的方程;
(2)设圆 的切线 交椭圆 于点 ,求 的取值范围.
21. 已知函数 的图象在与 轴的交点处的切线方程为 .
(1)求 的解析式;
(2)若 对 恒成立,求 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为 .
(1)求圆 的参数方程;
(2)设 为圆 上一动点, ,若点 到直线 的距离为 ,求 的大小.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(1)求不等式 的解集;
(2)若恰好存在4个不同的整数 ,使得 ,求 的取值范围.
 

榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷
高三数学参考答案(理科)
一、选择题
1-5:DBCAC       6-10:CABBA      11、12:CD
二、填空
13.           14.-2           15.            16.2
三、解答题
17.解:(1)因为数列 是公差为2的等差数列,所以 ,
则 ,
又 成等比数列,所以 ,
解得 或 ,因为数列 为正项数列,所以 .
所以 ,
故 .
(2)由(1)得 ,
所以 ,
所以 ,
即   ,
故 .
18.解:(1)由题意可知: .
(2) 的所有可能值为0,1,2,3,4.
则 ,且 相互独立.
故 ,
  ,
  ,
  ,
  .
从而 的分布列为
 
所以  .
19.(1)证明:因为 分别为 的中点,
所以 ,且 平面 ,
 平面 ,所以 平面 .
又因为 分别为 的中点,所以有 , 平面 ,
且 平面 ,所以 平面 .
又因为 ,所以平面 平面 .
因为 平面 ,所以 平面 .
(2)解:在平面 内过点 作 ,如图所示,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
 
由 为等腰直角三角形知 ,又 , ,所以有 平面 .
设 ,则 , ,
所以 为平面 的一个法向量.
又 , ,所以 , ,
设 为平面 的一个法向量,则有 ,
即有 ,所以可取 .
由 ,得 ,从而 .
所以棱 的长为2.
20.解:(1)因为 ,所以 .①
因为 ,所以点 为椭圆的焦点,所以, .
设 ,则 ,所以 ,
当 时, ,②
由①,②解得 ,所以 , ,
所以圆 的方程为 ,椭圆 的方程为 .
(2)①当直线 的斜率不存在时,不妨取直线 的方程为 ,解得 , , .
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , , .
因为直线 与圆相切,所以 ,即 ,
联立 ,消去 可得 ,
 .
令 ,则 ,所以 , ,
所以 ,所以 .
综上, 的取值范围是 .
21.解:(1)由 得 ,∴切点为 .
∵ ,∴ ,∴ ,
又 ,∴ , .
(2)由 得  ,
设 ,  对 恒成立,
∴ 在 上单调递增,∴ .
∵  ,
∴由 对 恒成立得  对 恒成立,
设 , ,
当 时, ,∴ ,
∴ 单调递减,∴ ,即 .
综上, 的取值范围为 .
22.解:(1)∵ ,∴ ,∴ ,
即 ,∴圆 的参数方程为 ( 为参数).
(2)由(1)可设 , ,
 的直角坐标方程为 ,
则 到直线 的距离为
  ,
∴ ,∵ ,∴ 或 ,
故 或 .
23.解:(1)由 ,得 ,
不等式两边同时平方得, ,
即 ,解得 或 .
所以不等式 的解集为 .
(2)设  ,
作出 的图象,如图所示,
 
因为 , ,
又恰好存在4个不同的整数 ,使得 ,
所以 即 ,
故 的取值范围为 .


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