2018高三数学(理)第一次模拟考试题(滨州市淄博市有答案)

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2018高三数学(理)第一次模拟考试题(滨州市淄博市有答案)

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2018高三数学(理)第一次模拟考试题(滨州市淄博市有答案)
淄博市2017-2018学年度高三模拟考试试题
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ,则 (    )
A.          B.       C.        D.
2.在复平面内,复数 满足 ,则 对应的点位于 (    )
A.第一象限         B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限
3.若 ,则 (    )
A.          B.        C.        D.
4.若 为第一象限角,且 ,则 的值为 (    )
A.         B.        C.          D.
5. 已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(    )
 
A.          B.        C.          D.
6. 设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 ,且 。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 ,则 的值为(参考数据:若 ,有 , , ) (    )
A. 0.9772        B.0.6826       C. 0.9974        D.0.9544
7. 执行如图所示的程序框图,若输出的 值为 ,则输入的 值为(    )
 
A.  3       B.  4    C.     5    D.6
8. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即 .现有周长为 的 的面积为(    )
A.         B.       C.          D.
9. 已知点 ,点 的坐标满足条件 ,则 的最小值是(    )
A.         B.       C.  1       D.
10. 已知 ,则使 成立的 的取值范围是(    )
A.         B.        C.           D.
11. 已知直线 过定点 ,线段 是圆 : 的直径,则 (    )
A. 5        B.6       C.  7       D.8
12.已知函数 在 处取得最大值,则下列结论中正确的序号为:① ;② ;③ ;④ ;⑤  (    )
A. ①④        B.②④       C. ②⑤        D.③⑤
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.二项式 的展开式中, 的系数为          .
14.设函数 ,给出下列结论:① 的一个周期为 ;② 的图象关于直线 对称;③ 的一个零点为 ;④ 在 单调递减,其中正确结论有          (填写所有正确结论的编号).
15.已知正四棱锥,其底面边长为2,侧棱长为 ,则该四棱锥外接球的表面积是          .
16.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 分别交于 三点, 为坐标原点.若双曲线的离心率为2, 的面积为 ,则           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知 是公差为3的等差数列,数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
18.直角三角形 中, 是 的中点, 是线段 上一个动点,且 ,如图所示,沿 将 翻折至 ,使得平面 平面 .
 
(1)当 时,证明: 平面 ;
(2)是否存在 ,使得 与平面 所成的角的正弦值是 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
19.响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记 为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求 的分布列及数学期望 .
附: ,其中 .
参考数据:
 
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
 
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841
20.已知椭圆 的右焦点为 ,原点为 ,椭圆 的动弦 过焦点 且不垂直于坐标轴,弦 的中点为 ,过 且垂直于线段 的直线交直线 于点 .
(1)证明: 三点共线;
(2)求 的最大值.
 
21. 设函数 (其中 ).
(1)求函数 的单调区间;
(2)当 时,讨论函数 的零点个数.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中,直线 的方程是 ,曲线 的参数方程是 ( 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线 与曲线 的极坐标方程;
(2)若射线 与曲线 交于点 ,与直线 交于点 ,求 的取值范围.
23. 【选修4-5:不等式选讲】
已知函数 .(1)解不等式 ;(2)若 ,不等式 对 恒成立,求 的取值范围.


试卷答案
一、选择题
1-5:ABDBC       6-10:  ACABD    11、12:CB
二、填空
13.  80        14. ①②③          15.            16. 
三、解答题
17.解:(1)由已知 且 ,得 ,
所以 是首项为4,公差为3的等差数列,
通项公式为 ;
(2)由(1)知 ,得: , ,因此 是首项为 、公比为 的等比数列,则 .
18.证明:
 
(1)在 中, ,即 ,则 ,
取 的中点 ,连接 交 于 ,当 时, 是 的中点,
而 是 的中点,所以 是 的中位线,
所以 ,
在 中, 是 的中点,所以 是 的中点,
在 中, ,
所以 ,则 ,
又平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 .
而 ,所以 平面 ;
(2)以 为原点, 所在的直线为 轴, 所在的直线为 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 ,
由(1)知 是 的中点, ,又平面 平面 ,
所以 平面 ,则 ,
假设存在满足题意的 ,则由 ,
可得 ,
则 ,设平面 的一个法向量为 ,
则 即 ,
令 ,可得 ,即 ,
所以 与平面 所成的角的正弦值 ,
解得 或3(舍去),
综上,存在 ,使得 与平面 所成的角的正弦值为 .
19.解:(1)根据所给条件,制作列联表如下:
 男 女 总计
喜欢阅读古典文学 64 36 100
不喜欢阅读古典文学 56 44 100
总计 120 80 200
所以 的观测值 ,
因为 的观测值 ,由所给临界值表可知,在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关;
(2)设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表 人,女代表 人,则 ,
根据已知条件可得 , ;
 ;
 ;
 ;
 ,
所以 的分布列是:
 
1 2 3 4 5
 
 

所以 .
20.解证:(1)显然椭圆 的右焦点 的坐标为 ,
设 所在直线为: ,且 .
联立方程组: ,得: ;
其中 ,
点 的坐标为 所在直线方程为: .
 所在的直线方程为: ,
联立方程组: ,得点 的坐标为 ,
点 的坐标满足直线 的方程 ,故 三点共线;
(2)由(1)得: ;
由点 的坐标为 , ,
所以 ,
显然 ,
故当 ,即 时, 取得最大值 .
21.解:(1)函数 的定义域为 , ,
①当 时,令 ,解得 ,所以 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ,
②当 时,令 ,解得 或 ,
所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
③当 时, , 在 上单调递增,
④当 时,令 ,解得 或 ,所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
(2) ,①当 时,由(1)知,当 时, ,此时 无零点,
当 时, ,
又 在 上单调递增,所以 在 上有唯一的零点,
故函数 在定义域 上有唯一的零点,
②当 时,由(1)知,当 时, ,此时 无零点;
当 时, , ,
令 ,则 ,
因为 在 上单调递增, ,
所以 在 上单调递增,得 ,即 ,所以 在 上有唯一的零点,故函数 在定义域 上有唯一的零点.
综全①②知,当 时函数 在定义域 上有且只有一个零点.
22.解:(1)由 ,得直线 极坐标方程: ,
曲线 的参数方程为 ( 为参数),消去参数 得曲线 的普通方程为 ,即 ,
将 代入上式得 ,
所以曲线 的极坐标方程为 ;
(2)设 ,则 ,所以
 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 的取值范围是 .

23.解:(1) ,原不等式等价于: 或 或 ,
解得: ,或 ,或 ,
综上所述,不等式解集是: ;
(2) 恒成立等价于 .
因为 ,所以 的最大值为 ;
 时, ; 时, ; 时, ,
所以 ,所以由原不等式恒成立,得: ,解得: 或 .

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