2018届高三数学上学期教学质量检测试卷(湖州、衢州、丽水三地市含答案)

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2018届高三数学上学期教学质量检测试卷(湖州、衢州、丽水三地市含答案)

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湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷
高三数学(2018.1)
第  Ⅰ  卷  (选择题,共40分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集 ,集合 , ,则
   A.      B.      C.        D. 
2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
若把“一尺之棰”的长度记为 个单位,则“日取其半”后,木棒剩下部分的长度组成数列的通项公式是
  A.        B.          C.          D. 
3.设 为直线, , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A.若 , ,则  B.若 , ,则 
C.若 , ,则    D.若 , ,则
4.已知 为锐角,且 ,则 
A.              B.             C.                 D. 
5.某四棱锥的三视图如图所示(单位: ),则该四棱锥的
体积(单位: )是
A.                                 B. 
C.                            D. 

6.若 ,则“ ”是“直线 与圆 相切”的
   A.充分不必要条件                     B.必要不充分条件   
   C.充要条件                           D.既不充分也不必要条件
7.已知实数 , 满足 则 的最大值是
A.         B.          C.           D.
8.已知函数 ,则方程 所有根的和是
   A.              B.                C.                 D. 
9.已知等腰 内接于圆 ,点 是下半圆弧上的动点(如图所示).现将上半圆面沿 折起,使所成的二面角 为 .则直线 与直线 所成角的最小值是
   A.                              B.  
C.                                  D. 
10.已知 且 , ,则 的取值范围是
A.                      B.        
C.                           D. 

第  Ⅱ  卷  (非选择题部分,共110分)
注意事项:
用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上,做在试题卷上无效.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)
11.椭圆 的长轴长是  ▲  ,离心率是  ▲  .
12.在 的展开式中,常数项是  ▲  ,含 的一次项的系数是  ▲  .
13.某袋中装有大小相同质地均匀的 个球,其中 个黑球和 个白球.从袋中随机取出  个球,记取出白球的个数为 ,则   ▲  ,   ▲  .
14.已知 , 是虚数单位, , .若 是纯虚数,则
   ▲  , 的最小值是  ▲  .
15.在锐角 中, 是 边上的中线.若 , , 的面积是 ,
则   ▲  .
16.设 ,若函数 在 上的最大值与最小值之差为 ,则   ▲  .
17.设点 是 所在平面内动点,满足 , ( ), .若 ,则 的面积最大值是  ▲  .
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ) 求函数 的最小正周期;
(Ⅱ) 当 时,求函数 的最大值和最小值.


19.(本小题满分15分)
     已知函数 ( ).
    (Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
       (Ⅱ)若函数 有两个极值点 , ,求 的取值范围.


20.(本小题满分15分)
已知矩形 满足 , , 是正三角形,
平面 平面 .
   (Ⅰ)求证: ;
   (Ⅱ)设直线 过点 且 平面 ,点 是
直线 上的一个动点,且与点 位于平面 的同侧.
记直线 与平面 所成的角为 ,
若 ,求 的取值范围.
 

21.(本小题满分15分)
    已知抛物线 : ( )上的点 与其焦点的距离为 .
   (Ⅰ)求实数 与 的值;
   (Ⅱ)如图所示,动点 在抛物线 上,
直线 过点 ,点 、 在 上,且满足 ,
 轴.若 为常数,求直线 的方程.


22.(本小题满分15分)
    已知数列 满足: , ( ),设数列 的前 项和为 .证明:
   (Ⅰ) ( );
(Ⅱ) ( );
(Ⅲ) ( ).


湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测参考答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D B A B C B A

二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)
11.  ,           12.  ,        13.  ,      14.    ,
15.            16.           17. 
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ) 求函数 的最小正周期;
(Ⅱ) 当 时,求函数 的最大值和最小值.
解:(Ⅰ)  -----------4分
 
 ---------------------------------------6分
      因此函数 的最小正周期 ---------------------------------------8分

(Ⅱ)因为 ,所以 ----------------------------10分
所以 -----------------------------------------------12分
因此,当 时, 的最大值为 ,
当 时, 的最小值为 .---------------------------------------------14分
19.(本小题满分15分)
     已知函数 ( ).
    (Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
       (Ⅱ)若函数 有两个极值点 , ,求 的取值范围.
解:(Ⅰ)当 时,
则 -----------------------------------------------------2分
所以 ----------------------------------------------------------------4分
因此曲线 在点 处的切线方程为 .---------------6分
(Ⅱ)由题意得 ,------------------------------------7分
故 的两个不等的实根为 , .
由韦达定理得 ,解得 .           --------------9分
故  .-------------11分
设 ( ),
则 .------------------------------------------------------------13分
故 在 单调递减,
所以 .
因此 的取值范围是 .----------------------------------------15分
20.(本小题满分15分)
    已知矩形 满足 , , 是正三角形,平面 平面 .
   (Ⅰ)求证: ;
   (Ⅱ)设直线 过点 且 平面 ,点 是
直线 上的一个动点,且与点 位于平面 的同
侧.记直线 与平面 所成的角为 ,
若 ,求 的取值范围.
解:(Ⅰ) 取 的中点 ,连接 , .-------2分
由点 是正 边 的中点, ,又平面 平面 ,
平面 平面 ,所以 平面 ,则 .----------4分
因为  ,所以 .
故 ,则 ,--------------------6分
 ,故 平面 ,又 平面
因此 .-------------------------------------------7分

(Ⅱ)在平面 内过点 作直线 ,过 作 于 ,连接 。
则 是直线 与平面 所成的角。-------------------------------------9分
由直线 平面 ,
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离为 ,-----------11分
则因为 ,所以直线 上的点与点 的距离 的取值范围 ,13分
故 . ------------------15分
解法二:(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,
设 ( ),
则 , ,-----------------10分
所以 ,
取平面 的一个法向量为 ,则
 ,---------------------------13分
由 得 , . ------------------15分
21.(本小题满分15分)
已知抛物线 : ( )上的点 与其焦点的距离为 .
(Ⅰ)求实数 与 的值;
(Ⅱ)如图,动点 在抛物线 上,直线 过点 ,
点 、 在 上,且满足 , 轴.
若 为常数,求直线 的方程.
解:(Ⅰ)由题意得 -----------------------------------------2分
又点 在抛物线上,故 ------------------------------------------------4分
解得 , ---------------------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)设直线 的方程为 , -------------------------7分
则 ,
所以 -------------------------------------------------------------------9分
取直线 的一个方向向量 ,则
 ----------------------------------------------------11分
故 -----------------------------------------------------------13分
则 ,定值为 ,此时直线 的方程 ------------------------------------15分
(Ⅱ)解法二:
设直线 的方程为 , -------------------------7分
则 ,
所以 -------------------------------------------------------------------9分
又点 到直线 的距离为
 
 
 ---------------------------------------------------------------------------11分
故 -----------------------------------------------------------13分
则 ,定值为 ,此时直线 的方程 .-----------------------------------15分

22.(本小题满分15分)
已知数列 满足: , ( ),设数列 的前 项和为 ..
证明:当 时,
(Ⅰ) ;
(Ⅱ) ;     
(Ⅲ) .
解:(Ⅰ)①当 时, ,所以 命题成立;
②假设 时命题成立,即 .
则由 知 .所以 .
故对于 都有 ----------------------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)先利用 ( )证明 ,即
故 ,因此 .------------------------------------------------------------6分
要证明 ,即证
构造函数 ( ).----------------------------8分
 ,所以 在 单调递减.
故 ,
因此 .----------------------------------------------------------------------10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 成立,
则累加可得 ,故 .---------------------------------------------12分
构造函数 ( )
 ,所以 在 单调递增.
故 ,得 .
所以有 ,进一步有 ,
则累加可得 ,故 .
因此原命题成立.---------------------------------------------------------------------------15分
 

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