2018届高三教学质量检测考试(二)数学(文)试卷(江西省名校学术联盟带答案)

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2018届高三教学质量检测考试(二)数学(文)试卷(江西省名校学术联盟带答案)

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江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试(二)
文科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为 ,集合 , ,则(    )
A.          B.        C.        D.
2.已知等差数列 的前 项和   ,若 ,则 (     )
A.4         B. 2      C.        D.
3.已知函数 ,其中 ,则 (      )
A.          B.6       C.         D.  或6
4.函数 的单调递增区间为(     )
A.          B.        C.          D.
5.已知 ,则“ ”是“ ”的(      )
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要
6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一,也作陀罗,闽南语称作“干乐”,北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成,从前的制作材料多为木头,现代多为塑料或铁制,玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳,使其直立旋转;或利用发条的弹力使其旋转,下图画出的是某陀螺模型的三视图,已知网络纸中小正方形的边长为1,则该陀螺模型的体积为(     )
 
A.          B.        C.          D. 
7. 将函数 的图像向右平移 个单位后,所得函数图像关于原点对称,则 的取值可能为(    )
A.          B.        C.          D. 
8.已知正方形 如图所示,其中 相较于 点, 分别为 , 的中点,阴影部分中的两个圆分别为 与 的内切圆,若往正方形 中随机投掷一点,则该点落在图中阴影区域内的概率为(     )
 
A.          B.        C.           D.
9.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 是抛物线 上一点,过点 作 的垂线,垂足为 ,准线 与 轴的交点设为 ,若 ,且 的面积为 ,则以 为直径的圆的标准方程为(     )
A. 或         
B. 或       
C.  或         
D. 或
10. 已知正方体 的体积为1,点 在线段 上(点 异于 两点),点 为线段 的中点,若平面 截正方体 所得的截面为四边形,则线段 的取值范围为(     )
A.          B.        C.          D. 
11.已知双曲线 :  的左、右焦点分别为 ,过点 作圆 : 的切线 ,切点为 ,且直线 与双曲线 的一个交点 满足 ,设 为坐标原点,若 ,则双曲线 的渐近线方程为(   )
A.          B.        C.           D.
12. 已知函数 ,现有如下说法:
①函数 的单调增区间为 和 ;
②不等式 的解集为 ;
③函数 有6个零点.
则上述说法中,正确结论的个数有(    )
A.  0个       B. 1个      C.2个         D.3个
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知等比数列 的前 项和   ,若 ,则数列 的公比为            .
14.已知单位向量 满足 ,则 夹角的余弦值为          .
15. 已知实数 满足 ,则 的取值范围为          .
16.已知 中,角 的对边分别为 ,若 ,则           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目,因其外形仿照古代海盗船而得名,现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量,具体数据如下:
 
 
(1)从所给6个时间点中任选一个,求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率;
(2)记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为 ,现从该6个时间点中任取2个,求恰有1个时间满足 的概率.
18. 在如图所示的五面体 中, , , ,四边形 为正方形,平面 平面 .
 
(1)证明:在线段 上存在一点 ,使得 平面 ;
(2)求 的长.
19. 已知数列 的前 项和  ,且 ,数列 是首项为1、公比为 的等比数列.
(1)若数列 是等差数列,求该等差数列的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
20. 已知 中,角 , .
(1)若 ,求 的面积;
(2)若点 满足 , ,求 的值.
21. 已知椭圆 : 的离心率为 ,且椭圆 过点 ,直线 过椭圆 的右焦点且与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知点 ,求证:若圆 与直线 相切,则圆 与直线 也相切.
22.已知函数 , ,其中 为自然对数的底数.
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线斜率;
(2)证明:当 时,函数 有极小值,且极小值大于 .
 


试卷答案
1.【答案】A
【解析】依题意, ,
 ,故 ,故选A.
2.【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为d,则 ,故 ,故 ,故选D.
3.【答案】A
【解析】依题意, ,故 ,故选A.
4.【答案】C
【解析】依题意, ,故 ,令 ,解得 ,故选C.
5.【答案】B
【解析】若 ,可令 ,可知充分性不成立;若 ,则 ,则 ,故必要性成立,故“ ”是“ ”的必要不充分条件,故选B.
6.【答案】B
【解析】依题意,该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成,故所求几何体的体积 ,故选B.
7.【答案】D
【解析】依题意, ,故向右平移 个单位后,得到 ,故 ,则 ,观察可知,故选D.
8.【答案】C
【解析】依题意,不妨设 ,则四边形 与四边形 的面积之和为 ;两个内切圆的面积之和为 ,故所求概率  ,故选C.
9.【答案】A
【解析】作出辅助图形如下所示,因为 ,故 ,由抛物线的定义可知 ,故 为等边三角形,因为 的面积为 ,故 ,而 ,故点P的横坐标为 ,代入 中,解得 ,故所求圆的标准方程为 ,故选A.
 
10.【答案】B
【解析】依题意,当点M为线段BC的中点时,由题意可知,截面为四边形AMND1,从而当 时,截面为四边形,当 时,截面为五边形,故线段BM的取值范围为 ,故选B.
 
11.【答案】C
【解析】因为 ,故 ,即 ,故点M为线段 的中点;连接 ,则 为 的中位线,且 故 ,且 ;因为 ,故点N在双曲线 的右支上,所以 ,则在 中,由勾股定理可得, ,即 ,解得 ,故 ,故双曲线 的渐近线方程为 ,故选C.
12.【答案】C
【解析】作出 的图象如下所示,观察可知函数 的单调增区间为 ,故①正确; 解得 ,故②正确;令 ,解得 ,而 有3个解 ;分别令 ,即分别有 ,结合 的图象可知,方程 有4个实数解,即函数 有4个零点,故③错误,故选C.
 

13.【答案】4
【解析】设等比数列 的公比为 ,显然 ,则 ,解得 .
14.【答案】
【解析】依题意, ,故 ,即 ,则 .
15.【答案】
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,观察可知,当直线 过点 时, 有最小值 ,当直线 过点 时, 有最大值 ,故 的取值范围为 .

 
16.【答案】
【解析】依题意, ,故 ,
即 ,可化得 ,故   .
方法二:依题意, ,故 ,
即 ,
故 .

17.解:(1)事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点,一共有6个时间点,所以所求概率为 ;
(2)依题意, 有4个时间点,记为A,B,C,D; 有2个时间点,记为a,b;
故从6个时间点中任取2个,所有的基本事件为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,其中满足条件的为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,故所求概率 .
18. (1)证明:取AB的中点G,连接EG;因为 , , ,所以 ,又四边形 是正方形,所以 , ,故四边形 为平行四边形,故 ,
因为 平面 , 平面 ,故 //平面 .
 、
(2)解:因为平面  平面 ,四边形 为正方形,所以 ,
所以 平面 .
在△ 中,因为 ,又 ,
所以由余弦定理,得 ,由(1)得 ,
故 .
19.解:(1)当 时, ;当 时, ,
故 ;
因为 是等差数列,故 成等差数列,
即 ,解得 ,所以 ;
所以 ,符合要求;
(2)由(1)知, ;
所以
 =
 
当 时, ;
当 时, .
20. 解:(1)在△ 中,设角 所对的边分别为 ,由正弦定理 ,
得 ,
又 ,所以 ,则 为锐角,所以 ,
则  ,
所以△ 的面积 .
方法二:由余弦定理可得 ,解得 ,
所以△ 的面积 .
(2)由题意得M,N是线段BC的两个三等分点,
设 ,则 , ,又 , ,
在△ 中,由余弦定理得 ,
解得 (负值舍去), 则 ,所以 ,
所以 ,(10分)
在Rt△ 中, .
21.(1)解:设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,
解得 ,c=1,故椭圆C的标准方程为 ;
(2)证明:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 ,M,N两点关于x轴对称,
点P(4,0)在x轴上,所以直线PM与直线PN关于x轴对称,
所以点O到直线PM与直线PN的距离相等,
故若圆 与直线PM相切,则也会与直线PN相切;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 , , ,
由 得:
所以 , ,
 , ,
 
 ,
所以, ,于是点O到直线PM与直线的距离PN相等,
故若圆 与直线PM相切,则也会与直线PN相切;
综上所述,若圆 与直线PM相切,则圆 与直线PN也相切.
22. (1)解:依题意, , ,故 ,
即曲线 在点 处的切线斜率为 ;
(2)证明:因为 ,所以 在区间 上是单调递增函数.
因为 , ,
所以 ,使得 . 
所以 , ; , ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在区间 上有极小值 .
因为 ,所以 .
设 , ,
则 , 所以 ,
即 在 上单调递减,所以 ,
即 ,故当 时,函数 有极小值,且极小值大于m. 

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