2018届高三数学上学期第一次模拟试题(淮安市等四市有答案)

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2018届高三数学上学期第一次模拟试题(淮安市等四市有答案)

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来源莲
山课件 w ww.5 Y K j.Co M

江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟
数学试卷

 
参考公式:1.柱体的体积公式: ,其中 是柱体的底面面积, 是高.
2.圆锥的侧面积公式: ,其中 是圆锥底面的周长, 是母线长.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.已知集合 , ,则   ▲  .
2.已知复数 ( 为虚数单位),则 的模为  ▲  .
3.函数 的定义域为  ▲  .
4.如图是一个算法的伪代码,运行后输出 的值为  ▲  .
 


5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有  ▲  人.
6.在平面直角坐标系 中,已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为  ▲  .
7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为  ▲  .
8.已知正四棱柱的底面边长为 ,侧面的对角线长是 ,则这个正四棱柱的体积是  ▲   .
9.若函数 的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 , , ,则实数 的值为  ▲  .
10.在平面直角坐标系 中,曲线 上任意一点 到直线 的距离的最小值为  ▲  .
11.已知等差数列 满足 , ,则 的值为  ▲  .
12.在平面直角坐标系 中,若圆  上存在点 ,且点 关于直线 的对称点 在圆  上,则 的取值范围是  ▲  .
13.已知函数 函数 ,则不等式 的解集为  ▲  .
14.如图,在 中,已知 , 为边 的中点.若 ,垂足为 ,则EB·EC的值为 ▲ .
 

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(本小题满分14分)
在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,且 , .
⑴求 的值;
⑵若 ,求 的面积.

16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱 中, , , , 分别是 ,  的中点.
求证:⑴  ;
⑵ .

17.(本小题满分14分)
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设∠BAO=θ, ,圆锥的侧面积为S cm2.
⑴求S关于θ的函数关系式;
⑵为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.
 


18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的离心率为 ,且过点 . 为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连接 分别交椭圆于 两点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵若 ,求 的值;
⑶设直线 , 的斜率分别为 , ,是否存在实数 ,使得 ,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

 

19.(本小题满分16分)
已知函数 .
⑴当 时,求函数 的极值;
⑵若存在与函数 , 的图象都相切的直线,求实数 的取值范围.
 

20.(本小题满分16分)
已知数列 ,其前 项和为 ,满足 , ,其中 , , , .
⑴若 , , ( ),求证:数列 是等比数列;
⑵若数列 是等比数列,求 , 的值;
⑶若 ,且 ,求证:数列 是等差数列.

 

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图, 是圆 的直径,弦 , 的延长线相交于点 , 垂直 的延长线于点 .
求证:
 


B.[选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵 , ,若矩阵 ,求矩阵 的逆矩阵 .


C.[选修4 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线 ( 为参数)与圆 的位置关系.

D.[选修4 5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知 都是正实数,且 ,求证:  .

 

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在正三棱柱 中,已知 , , , , 分别是 , 和 的中点.以 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 .
⑴求异面直线 与 所成角的余弦值;
⑵求二面角 的余弦值.


23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知平行于 轴的动直线 交抛物线 于点 ,点 为 的焦点.圆心不在 轴上的圆 与直线 , , 轴都相切,设 的轨迹为曲线 .
⑴求曲线 的方程;
⑵若直线 与曲线 相切于点 ,过 且垂直于 的直线为 ,直线 , 分别与 轴相交于点 , .当线段 的长度最小时,求 的值.

 

数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.   2.   3.    4.   5.750  6.   7.   8. 
9.    10.   11.   12.   13.   14. 
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(1)在 中,由 ,得 为锐角,所以 ,
所以 ,………………………………………………………………2分
所以 . ………………………………4分
     …………………………………………………………6分
(2)在三角形 中,由 ,
所以 ,    ………………………………………………8分
由 ,…………………………10分
由正弦定理 ,得 ,………………………12分
所以 的面积 . …………………………14分
16.(1)证明:取 的中点 ,连结
因为 分别是 的中点,
所以 且
在直三棱柱 中, , ,
又因为 是  的中点,
所以 且 .        …………………………………………2分
所以四边形 是平行四边形,
所以 ,    ………………………………………………………………4分
而 平面 , 平面 ,
所以 平面 .      ……………………………………………………6分
(2)证明:因为三棱柱 为直三棱柱,所以 面 ,
又因为 面 ,
所以面 面 ,  …………………8分
又因为 ,所以 ,
面 面 , ,
所以 面 ,  ………………………10分
又因为 面 ,
所以 ,即 ,
连结 ,因为在平行四边形 中, ,
所以 ,
又因为 ,且 , 面 ,
所以 面 ,……………………………………………………………………12分
而 面 ,
所以 .……………………………………………………………………………14分
17.(1)设 交 于点 ,过 作 ,垂足为 ,
在 中, , ,
…………………………………………………………2分
在 中, ,
 …………………………………………………………4分
所以
 ,   ……………………6分
(2)要使侧面积最大,由(1)得:
 …………8分
设                           
则 ,由 得:
当 时, ,当 时,
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以 在 时取得极大值,也是最大值;
所以当 时,侧面积 取得最大值,          …………………………11分
此时等腰三角形的腰长
答:侧面积 取得最大值时,等腰三角形的腰 的长度为 .…………14分
18.(1)设椭圆方程为 ,由题意知: ……………2分
解之得: ,所以椭圆方程为:      ……………………………4分
(2)若 ,由椭圆对称性,知 ,所以 ,
此时直线 方程为 ,     ……………………………………………6分
由 ,得 ,解得 ( 舍去),…………8分
故 .…………………………………………………………………10分
(3)设 ,则 ,
直线 的方程为 ,代入椭圆方程 ,得
      ,
因为 是该方程的一个解,所以 点的横坐标 ,…………………12分
又 在直线 上,所以 ,
同理, 点坐标为 , , ……………………………………………14分
所以 ,
即存在 ,使得 . ………………………………………………………16分
19.(1)函数 的定义域为
当 时, ,
所以 ………………………………………………2分
所以当 时, ,当 时, ,
所以函数 在区间 单调递减,在区间 单调递增,
所以当 时,函数 取得极小值为 ,无极大值;…………………4分
(2)设函数 上点 与函数 上点 处切线相同,
则 
所以     ……………………………………6分
所以 ,代入 得:
   ………………………………………………8分
设 ,则
不妨设 则当 时, ,当 时,
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,……………10分
代入 可得:
设 ,则 对 恒成立,
所以 在区间 上单调递增,又
所以当 时 ,即当 时 ,      ……………12分
又当 时
                         ……………………………………14分
因此当 时,函数 必有零点;即当 时,必存在 使得 成立;
即存在 使得函数 上点 与函数 上点 处切线相同.
又由 得:
所以 单调递减,因此
所以实数 的取值范围是 .…………………………………………………16分
20.(1)证明:若 ,则当 ( ),
所以 ,
即 ,
所以 ,       ……………………………………………………………2分
又由 , ,
得 , ,即 ,
所以 ,
故数列 是等比数列.……………………………………………………………4分
(2)若 是等比数列,设其公比为 (  ),
当 时, ,即 ,得
           ,            ①
当 时, ,即 ,得
           ,         ②
当 时, ,即 ,得
          ,        ③
②① ,得  ,
③② ,得  ,
解得 .
代入①式,得 .…………………………………………………………………8分
此时 ( ),
所以 , 是公比为1的等比数列,
故 .  ……………………………………………………………………10分
(3)证明:若 ,由 ,得 ,
  又 ,解得 .…………………………………………………12分
由 , ,   , ,代入 得 ,
所以 , , 成等差数列,
由 ,得 ,
两式相减得:

所以
相减得:
所以
所以
 ,        ……………………………………14分
因为 ,所以 ,
即数列 是等差数列.………………………………………………………………16分

数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21.A.证明:连接 ,因为 为圆的直径,所以 ,
又 ,则 四点共圆,
所以 . …………………………………………………………5分
又△ ∽△ ,
所以 ,即 ,
∴ .  …………10分
B.因为 ,   ………………………………………5分
所以 .      ………………………………………………………10分
C.把直线方程 化为普通方程为 .    ……………………………3分
将圆  化为普通方程为 ,
即 .  ………………………………………………………………6分
圆心 到直线 的距离 ,
所以直线 与圆 相切.…………………………………………………………………10分
D.证明:因为
 
 ,        …………………………………………5分
又 ,
所以 .…………………………………………10分
22.(1)因为 ,则 ,
所以 , ,    ………………………………………2分
记直线 和 所成角为 ,
则 ,
所以直线 和 所成角的余弦值为 .  ………………………………………4分
(2)设平面 的法向量为  ,
因为 , ,
则 ,取 得:  ……………………………6分
设平面 的一个法向量为 ,
因为 , ,
则 ,取 得:  ………………………8分
 
根据图形可知二面角 为锐二面角,
所以二面角 的余弦值为 ;  ……………………………………10分
23.(1)因为抛物线 的方程为 ,所以 的坐标为 ,
设 ,因为圆 与 轴、直线 都相切, 平行于 轴,
所以圆 的半径为 ,点  ,
则直线 的方程为 ,即 ,………………………2分
所以 ,又 ,
所以 ,即 ,
所以 的方程为        ………………………………………………4分
(2)设 ,  , ,
由(1)知,点 处的切线 的斜率存在,由对称性不妨设 ,
由 ,所以 , ,
所以 , , ……………………………………………………6分
所以 .……………………………………8分
令 , ,
则 ,
由 得 ,由 得 ,
所以 在区间 单调递减,在 单调递增,
所以当 时, 取得极小值也是最小值,即 取得最小值
此时 .……………………………………………………………10分

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