2018届高三上学期期末考试数学（理）试题(衡阳县含答案)

衡阳县2017年下学期期末质量检测试题
高三理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合M ,则M∩N=(   )
A.      B.      C.   D. 
2.若复数Z满足 为虚数单位),则Z=(    )
A. 1+i           B.1-i          C. i         D.-i
3.已知 ,若 与 平行,则m=(   )
A.-1             B.1           C.2         D.3
4.若函数 在区间(a-1,a+1)上递增,且 ,则(   )
A. c<b<a         B. b<c<a      C. a<b<c     D. b<a<c
5.日本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是:反复进行上述运算后，最后结果为1.现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的N=6，则输出
 
A.6             B.7            C.8          D.9
6.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边,若
且S=4，则c=(   )
A.               B.              C.             D. 
7.设 、β是空间两个平面，m、n、l是空间三条直线，则下列四个命题中，逆命题成立的个数是(   )
①.当 时，若n⊥β，则 ⊥β       ②.当l⊥ 时，若l⊥β，则 ∥
③.当 ，且 时，若l∥ ,则n∥l  ④.当 ,且l是m在 内的射影时，若n⊥l则m⊥n
A.1             B.2            C.3            D.4
8.若实数x、y满足不等式组 ，则目标函数 的最大值是(   )
A.               B.              C.             D. 
9.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是等
腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为(   )
 
A.               B.              C.             D. 
10.已知点P为双曲线 右支上一点F1、F2分别为双曲线的左右焦点，点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有 成立,则双曲线的离心率取值范围为(   )
A.(1，2]         B.(1， 2)       C.(0，3]        D.(1，3]
11.若P是面积为3的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x、y、z，则 的最小值是(   )
A.               B.              C.               D.3
12.定义函数 若存在实数b，使得方程 无实数根，则实数a的取值范围是(   )
A.(-∞，-1)U(4，+∞)    B.(-1，4)         C.(-∞，-5)U(4，+∞)       D.(4，+∞)
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等比数列 的前n项和是Sn，若S2、S6、S4成等差数列，则 的值为_____。
14.已知函数 ，若a、b都是从区间[0，3]内任取的实数，则不等式
成立的概率是___________。
15.定义在实数集R上的函数f(x)满足 ，当 时， ，则函数 |的零点个数为_________。
16.在△ABC中，AB=3AC=9， ，点P是△ABC所在平面内一点，则当 取得最小值时，
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
)必考题:共60分
17.(12分)设数列 的前n项积是Tn，满足 ，且 
(1)求数列 的通项公式
(2)若数列 满足 .求数列 的前n项和Sn的最值。

18.(12分)如图，在四棱锥中P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点。
(1)证明:BE⊥PD;
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-D的余弦值.
 

19.(12分)1999年3月24日，在以美国为首的北约的推动下，引发了科索沃战争.科索
沃战争以大规模空袭为作战方式.美军派甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲
机投弹一次命中目标的概率为 ，乙机投弹一次命中目标的概率为 ，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响.
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
(2)记目标被命中的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。

20.(12分)已知椭圆C:  的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，
以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线 相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点的动直线(x轴除外)与椭园C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存
在定点E，使得 为定值?若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.

21.(12分)已知函数
(1)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域上为单调增函数.
①求a最大整数值；
②证明: 

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多，做则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
已知在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为 为参数）
 (1)求曲线C的普通方程；
(2)经过点  (平面直角坐标系xoy中的点)作直线l交曲线C于A、B两点，若P恰
好为线段AB的中点，求直线l的方程.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
(1)求不等式 的解集；
(2)关于x的不等式 的解集不是空集，求实数a的取值范围.

 
衡阳县2017年下学期高三期末考试数学（理科）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A B D A C B C D A C

二、填空题
13.2    14.    15.512      16.24
三、解答题
17.(1)由 
 ……4分
 …………………………………6分
 
 ……………………………………………………………………10分
 ………………………………………………………………………………………………12分

18.依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得 ， ， ， .
由 为棱 的中点，得 .………………………………2分
（1）向量 ， ，
故 ， 所以 .………5分
（2）向量 ， ， ， .
由点 在棱 上，
 …………………………………6分
 
  ………………8分
设 为平面 的法向量，则 .
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.…………………………10分
取平面 的法向量 ，则 ，
所以二面角 的余弦值为 .………………………………………………12分
19.设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
 ，
据此算得P(A0)＝ ，P(A1)＝ ，P(A2)＝ .
P(B0)＝ ，P(B1)＝ ，P(B2)＝ .…………………………………………………2分
(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝ …………4分
(2)X的所有可能值为0,1,2,3,4，………………………………………………………5分
且P(X＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝ ，
P(X＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝ ，
P(X＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝ …………………8分
P(X＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝ ，
P(X＝4)＝P(A2B2)＝ .………………………………………………………………10分
综上知，X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
P 
 
 
 
 

从而X的期望为E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .……12分
20.（1）由题意知，  ，解得 ，…………………………3分
则椭圆 的方程为 .……………………………………………………4分
（2）①当直线的斜率存在时，设直线 ,
联立 ，得 ，
∴ .………………………………………………………6分
假设 轴上存在定点 ，使得 为定值，
∴
 
 
 .…………………………………………………………8分
要使 为定值，则 的值与 无关，∴ ，
解得 ，此时 为定值，定点为 .……………………………10分
②当直线的斜率不存在时，
所以，综上可知，在 轴上存在定点 ，使得 为定值 .…………12分
21.（1）当 时，  ，∴ ，
又 ，∴ ，
则所求切线方程为 ，即 .…………………………………………4分
（2）由题意知，  ，
若函数 在定义域上为单调增函数，则 恒成立.
①先证明 .设 ，则 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，即 .
同理可证 ，∴ ,∴ .
当 时，  恒成立.
当 时，  ，即 不恒成立.
综上所述，  的最大整数值为2. ………………………………………………………8分
②由①知，  ，令 ，
∴ ，∴ .
由此可知，当 时，  .当 时，  ，
当 时，  ，，当 时，  .
累加得 .………10分
又 ，
  .…………12分
22.（1）由曲线 的参数方程，得 ，所以
所以曲线 的普通方程为 ．……………………………………………………5分
（2）设直线 的倾斜角为 ，则直线的参数方程为 （ 为参数），
代入曲线 的直角坐标方程，得 ，
所以 ，由题意可知 ．
所以 ，得 ，所以直线 的方程为 ．………10分
23.（1）∵ ，∴ .
当 时，不等式可化为 ，解得 ，∴ ；
当 ,不等式可化为 ，解得 ， 无解；
当 时，不等式可化为 ，解得 ，∴ .
综上所述，  或 .………………………………………………………5分
（2）∵ ，
且 的解集不是空集，
∴ ，即 的取值范围是 .……………………………………………………10分