2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(衡阳县含答案)

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2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(衡阳县含答案)

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衡阳县2017年下学期期末质量检测试题
高三理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合M ,则M∩N=(   )
A.      B.      C.   D. 
2.若复数Z满足 为虚数单位),则Z=(    )
A. 1+i           B.1-i          C. i         D.-i
3.已知 ,若 与 平行,则m=(   )
A.-1             B.1           C.2         D.3
4.若函数 在区间(a-1,a+1)上递增,且 ,则(   )
A. c<b<a         B. b<c<a      C. a<b<c     D. b<a<c
5.日本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2,如果它是奇数我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想就是:反复进行上述运算后,最后结果为1.现根据此猜想设计一个程序框图如图所示,执行该程序框图输入的N=6,则输出
 
A.6             B.7            C.8          D.9
6.在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,若
且S=4,则c=(   )
A.               B.              C.             D. 
7.设 、β是空间两个平面,m、n、l是空间三条直线,则下列四个命题中,逆命题成立的个数是(   )
①.当 时,若n⊥β,则 ⊥β       ②.当l⊥ 时,若l⊥β,则 ∥
③.当 ,且 时,若l∥ ,则n∥l  ④.当 ,且l是m在 内的射影时,若n⊥l则m⊥n
A.1             B.2            C.3            D.4
8.若实数x、y满足不等式组 ,则目标函数 的最大值是(   )
A.               B.              C.             D. 
9.已知某几何体的三视图如图所示,正视图是斜边长为4的等腰直角三角形,侧视图是等
腰直角三角形,则该几何体的外接球的体积为(   )
 
A.               B.              C.             D. 
10.已知点P为双曲线 右支上一点F1、F2分别为双曲线的左右焦点,点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有 成立,则双曲线的离心率取值范围为(   )
A.(1,2]         B.(1, 2)       C.(0,3]        D.(1,3]
11.若P是面积为3的△ABC内的一点(不含边界),若△PAB,△PAC和△PBC的面积分别为x、y、z,则 的最小值是(   )
A.               B.              C.               D.3
12.定义函数 若存在实数b,使得方程 无实数根,则实数a的取值范围是(   )
A.(-∞,-1)U(4,+∞)    B.(-1,4)         C.(-∞,-5)U(4,+∞)       D.(4,+∞)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知等比数列 的前n项和是Sn,若S2、S6、S4成等差数列,则 的值为_____。
14.已知函数 ,若a、b都是从区间[0,3]内任取的实数,则不等式
成立的概率是___________。
15.定义在实数集R上的函数f(x)满足 ,当 时, ,则函数 |的零点个数为_________。
16.在△ABC中,AB=3AC=9, ,点P是△ABC所在平面内一点,则当 取得最小值时,
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
)必考题:共60分
17.(12分)设数列 的前n项积是Tn,满足 ,且 
(1)求数列 的通项公式
(2)若数列 满足 .求数列 的前n项和Sn的最值。


18.(12分)如图,在四棱锥中P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点。
(1)证明:BE⊥PD;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-D的余弦值.
 

19.(12分)1999年3月24日,在以美国为首的北约的推动下,引发了科索沃战争.科索
沃战争以大规模空袭为作战方式.美军派甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸,甲
机投弹一次命中目标的概率为 ,乙机投弹一次命中目标的概率为 ,两机投弹互不影响,每机各投弹两次,两次投弹之间互不影响.
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标,求目标被摧毁的概率;
(2)记目标被命中的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望。

 

20.(12分)已知椭圆C:  的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,
以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线 相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点的动直线(x轴除外)与椭园C相交于A、B两点,探究在x轴上是否存
在定点E,使得 为定值?若存在,试求出定值和点E的坐标;若不存在,请说明理由.

 

21.(12分)已知函数
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;
(2)若函数f(x)在定义域上为单调增函数.
①求a最大整数值;
②证明: 

 

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多,做则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
已知在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为 为参数)
 (1)求曲线C的普通方程;
(2)经过点  (平面直角坐标系xoy中的点)作直线l交曲线C于A、B两点,若P恰
好为线段AB的中点,求直线l的方程.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
(1)求不等式 的解集;
(2)关于x的不等式 的解集不是空集,求实数a的取值范围.

 
衡阳县2017年下学期高三期末考试数学(理科)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A B D A C B C D A C

二、填空
13.2    14.    15.512      16.24
三、解答题
17.(1)由 
 ……4分
 …………………………………6分
 
 ……………………………………………………………………10分
 ………………………………………………………………………………………………12分

18.依题意,以点 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得 , , , .
由 为棱 的中点,得 .………………………………2分
(1)向量 , ,
故 , 所以 .………5分
(2)向量 , , , .
由点 在棱 上,
 …………………………………6分
 
  ………………8分
设 为平面 的法向量,则 .
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.…………………………10分
取平面 的法向量 ,则 ,
所以二面角 的余弦值为 .………………………………………………12分
19.设Ak表示甲机命中目标k次,k=0,1,2,Bl表示乙机命中目标l次,l=0,1,2,则Ak,Bl独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有
 ,
据此算得P(A0)= ,P(A1)= ,P(A2)= .
P(B0)= ,P(B1)= ,P(B2)= .…………………………………………………2分
(1)所求概率为1-P(A0B0+A0B1+A1B0)= …………4分
(2)X的所有可能值为0,1,2,3,4,………………………………………………………5分
且P(X=0)=P(A0B0)=P(A0)·P(B0)= ,
P(X=1)=P(A0B1)+P(A1B0)= ,
P(X=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)= …………………8分
P(X=3)=P(A1B2)+P(A2B1)= ,
P(X=4)=P(A2B2)= .………………………………………………………………10分
综上知,X的分布列如下:
X 0 1 2 3 4

 
 
 
 

从而X的期望为E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = .……12分
20.(1)由题意知,  ,解得 ,…………………………3分
则椭圆 的方程为 .……………………………………………………4分
(2)①当直线的斜率存在时,设直线 ,
联立 ,得 ,
∴ .………………………………………………………6分
假设 轴上存在定点 ,使得 为定值,

 
 
 .…………………………………………………………8分
要使 为定值,则 的值与 无关,∴ ,
解得 ,此时 为定值,定点为 .……………………………10分
②当直线的斜率不存在时,
所以,综上可知,在 轴上存在定点 ,使得 为定值 .…………12分
21.(1)当 时,  ,∴ ,
又 ,∴ ,
则所求切线方程为 ,即 .…………………………………………4分
(2)由题意知,  ,
若函数 在定义域上为单调增函数,则 恒成立.
①先证明 .设 ,则 ,
则函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
∴ ,即 .
同理可证 ,∴ ,∴ .
当 时,  恒成立.
当 时,  ,即 不恒成立.
综上所述,  的最大整数值为2. ………………………………………………………8分
②由①知,  ,令 ,
∴ ,∴ .
由此可知,当 时,  .当 时,  ,
当 时,  ,,当 时,  .
累加得 .………10分
又 ,
  .…………12分
22.(1)由曲线 的参数方程,得 ,所以
所以曲线 的普通方程为 .……………………………………………………5分
(2)设直线 的倾斜角为 ,则直线的参数方程为 ( 为参数),
代入曲线 的直角坐标方程,得 ,
所以 ,由题意可知 .
所以 ,得 ,所以直线 的方程为 .………10分
23.(1)∵ ,∴ .
当 时,不等式可化为 ,解得 ,∴ ;
当 ,不等式可化为 ,解得 , 无解;
当 时,不等式可化为 ,解得 ,∴ .
综上所述,  或 .………………………………………………………5分
(2)∵ ,
且 的解集不是空集,
∴ ,即 的取值范围是 .……………………………………………………10分

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