2018届高三上学期第五次模拟(期末)数学(理)试题(铜仁市第一中学有答案)

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2018届高三上学期第五次模拟(期末)数学(理)试题(铜仁市第一中学有答案)

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铜仁一中2017-2018学年度高三年级第五次月考
数学(理)试题

一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1.若 ,则 (  )
A.    B.   C.   D. 
2.在复平面内,复数 满足 ,则 的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限         B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限
3.已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前100项的和为( )
A.  B.  C.  D. 

4. 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该作品完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,右图为该问题的程序框图,若输出的 值为0,则开始输入的 值为 ( )
 A.    B.  C.   D. 
5. 函数 的图象大致为()


6.某校毕业典礼由5个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(   )
A.24种     B.28种 C.36种 D.48种
7.已知 的图像关于点 对称,且 在区间 上单调,则 的值为( )
A.1         B.2       C.         D.

8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.  B. 
C.   D. 

9.数列 的前n项的和满足 则下列为等比数列的是(  )
    A.   B.   C.   D.

10.已知双曲线 :  的左、右焦点分别为 ,
 是双曲线 右支上一点,且 ,若原点到直线 的距离为 ,则双曲线的   
离心率为() 
A.                  B.                 C.2               D.3
11.设 , ,若 ,则 的最大值为(  )
A.          B.        C.          D.
12.已知函数 ,对任意 ,存在 ,使得 ,则 的最小值为(  )
A.            B.2           C.           D.1


二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知 展开式中所有项的系数之和为729,则该展开式中含 项的系数为.
14.设变量 满足约束条件: ,则目标函数 的最大值为.
15.已知四棱锥 的顶点都在半径为 的球面上,底面 是正方形,且底面经过球心 的中点, ,则该四棱锥 的体积为.
16.如表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列, 表示位于第 行第 列的数.若112在这“等差数阵”中对应的行数为 列数为 ,则 .
 

三、解答题:(本大题共6小题,满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知 ,在 中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,且 满足 .
(1)求角A的值;   
(2)若 ,求△ABC面积的最大值.

18.(本小题满分12分)
如图在棱锥 中, 为矩形, 面 , , , 与面 成 角.
(1)在 上是否存在一点 ,使 面 ;
(2)当 为 中点时,求二面角 的余弦值.

 


19.(本题满分12分)
2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等,该国质量检验部门为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试,结果统计如下图所示.
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是乙品牌的概率.
(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X的分布列与数学期望值.
 
20.(本题满分12分)
椭圆C1:x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0)的离心率为5 3 ,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于2 b.C2与y轴的交点为M,过点P(0,1)作直线 与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D、E.
  (1)求 的方程;(2)求证:MA→·MB→为定值;
(3)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ>0),求λ的取值范围.


21.(本小题满分12分)
   已知函数
(1)当 时,求曲线 在原点处的切线方程;
(2)若 对 恒成立,求 的取值范围.


请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
直角坐标系 的原点 和极坐标系的极点重合, 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线 的参数方程为 ( 为参数)
(1)在极坐标系下,曲线 与射线 和射线 分别交于 两点,求 的面积;
(2)在直角坐标系下,直线 的参数方程为 ( 为参数),直线 与曲线 相交于 两点,求 的值.

23.(本小题满分12分)
选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)解不等式 ;(Ⅱ)若不等式 的解集为 ,且满足 ,求实数 的取值范围.
 
考题参考答案:
选择题:1-12:CAACD BDDAB  BD
填空题:13.240  14.   15.    16.38或24或16或14
17.解:(1)由 ,
则 即
 (6分)
(2)若 ,则由正弦定理得
  即
  的最大值为 .(本题采用余弦定理亦可求解具体解答略)(12分)

18.(Ⅰ)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需 即可,所以由 ,即存在点E为PC中点…(6分)
法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,
由题意知PD=CD=1,
 ,设 , ,
 
由 ,得 ,
即存在点E为PC中点.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , , ,
 , , ,
设面ADE的法向量为 ,面PAE的法向量为
由的法向量为 得, 得
同理求得 所以
故所求二面角P-AE-D的余弦值为 ,因为二面角B-AE-D与二面角P-AE-D互补,所以二面角B-AE-D的余弦值为 .(12分)

19.解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20+60300=415,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415.………………………………………(3分)
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有220+210=430个,其中乙品牌产品是210个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430=2143,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为2143.………………………………(7分)
 (3)由题意知X可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C040 ·C340 C380  = 19158 ,P(X=1)= C140 ·C240 C380  = 60158 ,
  P(X=2)= C240 ·C140 C380  = 60158 , P(X=3)= C340 ·C040 C380  = 19158 .…………………(9分)
X 0 1 2 3
P 19158
60158
60158
19158

∴X的分布列为

 

故E(X)= 0×19158 +1×60158 +2×60158 +3×19158 = 237158 .……………………………(12分)

20. 解:(1)由题设得2 b=22 , (b>0),∴b=2,又e= ca =5 3 ,∴c2=59 a2=a2-4,解得a2=9.
因此椭圆C1的方程为x29 + y24 =1.(4分)
(2)由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(5分)
设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.
由y=-x2+2y=kx+1 消去y得x2+kx-1=0,∴x1+x2=-kx1x2=-1 ,①………………………(6分)
∴MA→·MB→=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,(7分)
∴将①代入上式得MA→·MB→=-1-k2+k2+1=0(定值).……………………(8分)
(2)由(2)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由y=k1x+2y=-x2+2 解得x=0y=2 或x=-k1y=-k12+2 ,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),
∴S1=12 |MA|·|MB|= 12 1+k12 ·1+k22 |k1||k2|.………………………………(9分)
由y=k1x+2x29 + y24 =1 解得x=0y=2 或x= -36k14+9k12 y= 8-18k124+9k12  ,∴D(-36k14+9k12 ,8-18k124+9k12 ),
同理可得E(-36k24+9k22 ,8-18k224+9k22 ),
∴S2=12 |MD|·|ME|= 12 ·361+k12 |k1|4+9k12 ·361+k22 |k2|4+9k22 ,………………………(10分)
∴λ2= S1S2 = 1362 (4+9k12)(4+9k22)= 1362 (16+81k12k22+36k12+36k22)
= 1362  (97+ 36k12+ 36k12 )≥132362 ,又λ>0,∴λ≥1336
故λ的取值范围是[1336 ,+∞)………………………………………………………(12分)

21.21.解:(1)当 时
当 故曲线 在原点处的切线方程为 .(5分)
(2) , 在(0,1)上恒成立要满足以下情况:
① 若 上单调递减或先递减后递增 不能恒成立排除;
② 若 在(0,1)上单调递增满足 恒成立,即 在(0,1)恒成立。
即 恒成立;令 因为 ,于是 ,当
 ;
③ 若 在(0,1)上先递增后递减,此时 恒成立需满足,当 不成立;
综上k的取值范围是 。(12分)
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
解:(Ⅰ)曲线 在直角坐标系下的普通方程为 ,
将其化为极坐标方程为 ,
分别代入 和 ,得 ,
∵ ,
∴ 的面积 .(5分)
(Ⅱ)将 的参数方程代入曲线 的普通方程得 ,
即 ,
∴ (5分)
23.解析:(Ⅰ) 可化为 ,
即 ,或 ,或 ,
解得 ,或 ,或 ;
不等式的解集为 .(5分)
(Ⅱ)易知 ;
所以 ,又 在 恒成立;
 在 恒成立;
 在 恒成立;
  .(5分)

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