2018届高三数学上学期第四次统练试卷(浙江省台州中学有答案)

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2018届高三数学上学期第四次统练试卷(浙江省台州中学有答案)

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台州中学2018届高三上学期第四次统练
数 学 试 题
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设集合 ,则 (     )
A.         B.         C.          D. 
2. 为虚数单位,则 (    )
A .        B.        C .       D .
3.设 ,则 的大小关系是(     )
A.   B.    C.      D.
4.设 ,则“ 且 ”是“ ”的(    )
A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件
C.充分必要条件        D.既不充分也不必要条件
5.设变量 满足 ,则 的最大值和最小值分别为(     )
A .        B .          C .       D .
6.设 是椭圆 的左、右焦点, 为直线 上一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为(    )
A.             B.            C.                 D.
7.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(    )
 
8.已知平面 截一球面得圆 ,过圆心 且与 成 二面角的平面 截该球面得圆 ,若该球面的半径为4,圆 的面积为 ,则圆 的面积为(     )
A.           B.          C.         D .
9.在平面直角坐标系中, 是坐标原点,两定点 满足 ,则点集 所表示的区域的面积是(     )
A .           B .           C.            D .
10.数列 满足 ,则 的前60项和为(     )
A .3660           B .3690        C.1830            D. 1845
二.填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)
11.马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表:
 
1 2 3
 
? ! ?
 请小牛同学计算 的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同,据此,小牛给出了正确答案       .
12.设 ,则 _____________.
13.已知抛物线 的焦点是坐标原点,则           ,以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为          .
14.已知 且 ,则         , 的值为_________.
15.某地火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成,如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有          种(用数字作答).
16.已知点 分别在正方体 的棱 上,且 ,则异面直线 与 所成角的正切等于          ,面 与面 所成的二面角的正切值等于        .
17.设 为整数,方程 在区间 内有两个不同的根,则当 取到最小值时, _________, ____________.
三.解答题(本大题共5小题,共74分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.在 中, ..
(1)求 的值;
(2)设 的面积 ,求 的长.


19.如图,四棱锥 中, ,侧面 为等边三角形, .
(1)证明: 平面 ;
(2)求 与平面 所成的角的正弦值.
 
20.设函数 曲线 通过点 ,且在点 处的切线垂直于 轴.

(1)用 分别表示 和 ;
(2)当 取得最小值时,求函数 的单调区间.

21.过抛物线 的焦点 作斜率分别为 的两条不同直线 且 与 相交于点 与 相交于点 ,以 为直径的圆 ,圆 ( 为圆心)的公共弦所在直线记为 .
(1)若 ,证明: ;
(2)若点 到直线 的距离的最小值为 ,求抛物线 的方程.

22.已知数列 的首项 .
(1)求 的通项公式;
(2)证明:对任意的 ;
(3)证明: .


参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A B C D D A C
二.填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)
11.2              12. 0           13.  ,2          14.  ,            15. 96
16.  ,        17. 6,7
三.解答题(本大题共5小题,共74分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.
(1)由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 ;
(2)由 得 ,
又 .

19.(1)证明:取AB中点E,连接DE,则四边形BCDE为矩形,DE=C=2,连接SE,则 , ,故 为直角,即 ,由 , ,得 平面 平面
(2)由 平面 知 ,平面 平面 ,作 ,垂足为F,则  平面 ,作 ,垂足为G,则 连接SG,又 ,故 平面 ,平面 平面 ,作 为垂足,则 平面 ,则F到平面SBC的距离为 ,由 ,所以 平面SBC,E到平面SBC的距离 为
     设AB与平面SBC所成的角为 ,则 (向量法略)
20.(1)
(2)由(1)得 ,故当 时, 取得最小值 ,
     此时有 ,从而
     ,所以
    令 ,解得
    当 时, 故 在 上为减函数
    当 时, 故 在 上为增函数
    当 时, 故 在 上为减函数
       由此可见,函数 的单调递减区间为 , ;单调递增区间为


21. (1)由题意知,抛物线E的焦点为 ,直线 的方程为
          由 得
          设 两点的坐标分别为 ,则 是上述方程的两个实数根,从而
 ,所以点M的坐标为
 ,同理可得点N 的坐标为    ,
于是    
 ,故
    (2)由抛物线的定义得 ,所以 [:.]
从而圆M的半径 ,故圆M的方程为: ,
同理可得圆N方程为:
 直线 的方程为 ,即
所以点M到直线 的距离为    
故当 时, 取最小值 ,由已知得 ,解得
故所求的抛物线 的方程为 .

22.(1)       
 
   (2)由(1)知
 
 
       原不等式成立
   (3)由(2)知,对任意的 ,有:
 
 
 取

 原不等式成立

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