2018版高考数学理科总复习压轴小题突破练(全国通用6份有答案)

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2018版高考数学理科总复习压轴小题突破练(全国通用6份有答案)

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来源 莲山课
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j.Co M 压轴小题突破练
1.与函数、不等式有关的压轴小题
1.(2017届枣庄期末)定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0,且当x>0时,f(x)>-xf′(x)恒成立,则函数g(x)=xf(x)+lgx+1的零点的个数为(  )
A.1  B.2  C.3  D.4
答案 C
解析 因为当x>0时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)>0,所以xf(x)在(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)为奇函数,所以函数xf(x)为偶函数,结合f(3)=0,作出函数y=xf(x)与y=-lgx+1的图象,如图所示:
 
由图象知,函数g(x)=xf(x)+lgx+1的零点有3个,故选C.
2.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),∀x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,且在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4-m)-f(m)≥8-4m,则实数m的取值范围为(  )
A.[-2,2]   B.[2,+∞)
C.[0,+∞)   D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
答案 B
解析 令g(x)=f(x)-12x2,则g(x)+g(-x)=0,函数g(x)为奇函数,在区间(0,+∞)上,g′(x)=f′(x)-x<0,且g(0)=0,
则函数g(x)是R上的单调递减函数,故
f(4-m)-f(m)=g(4-m)+12(4-m)2-g(m)-12m2
=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,
据此可得g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,m≥2.
3.(2017·马鞍山三模)已知函数f(x)=ln x,x>0,mx,x<0,若f(x)-f(-x)=0有四个不同的根,则m的取值范围是(  )
A.(0,2e)   B.(0,e)
C.(0,1)   D.0,1e
答案 D
解析 若m<0,那么f(x)=f(-x)只会有2个交点,所以m>0,
若f(x)=f(-x)有四个实根,根据对称性可知当x>0时,
ln x=-mx有两个实根,即-m=xln x有两个实根,设y=xln x,y′=ln x+1,
令ln x+1=0,解得x=1e,当x∈0,1e时, y′<0,函数单调递减,当x>1e时,函数单调递增,所以当x=1e时,y=xln x有最小值-1e,即-m>-1e⇒m<1e,所以0<m<1e,故选D.
4.(2017·福建省福州第一中学质检)已知函数f(x)=2x2x+1,x∈[0,1],函数g(x)=asinπ6x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是(  )
A.12,43   B.0,12
C.23,43   D.12,1
答案 A
解析 当x∈[0,1]时,f(x)=2x2x+1的值域是[0,1],g(x)=asin π6x-2a+2(a>0)的值域是2-2a,2-32a,因为存在x1,x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)成立,所以[0,1]∩2-2a,2-32a≠∅,若[0,1]∩2-2a,2-32a=∅,则2-2a>1或2-32a<0,
即a<12或a>43,所以a的取值范围是12,43,故选A.
5.(2017届河南天一大联考)设函数f(x)=2fx-2,x∈1,+∞,1-|x|,x∈[-1,1],若关于x的方程f(x)-loga(x+1)=0(a>0,且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,3)   B.(45,+∞)
C.(3,+∞)   D.(45,3)
答案 C
解析 要使方程f(x)-loga(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根,只需y=f(x)与y=loga(x+1)的图象在区间[0,5]内恰有5个不同的交点,在同一坐标系内作出它们的图象如图:
 
要使它们在区间[0,5]内恰有5个不同的交点,只需loga3<2,loga5<4,得a>3,故选C.
6.已知函数f(x)=x2+4a-3x+3a,x<0,logax+1+1,x≥0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  )
A.0,23   B.23,34
C.13,23∪34   D.13,23∪34
答案 C
解析 由题设可得0<a<1,-4a-32≥0,3a≥1,解得13≤a≤34.结合图象可知方程在(-∞,0)和(0,+∞)上分别只有一个实数根.当3a>2,即a>23时,则x2+(4a-3)x+3a=2-x只有一个解,则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得a=34或a=1(舍去);当1≤3a≤2,即13≤a≤23时,符合题设条件.综上,所求实数a的取值范围是13≤a≤23或a=34.故选C.
7.(2017·四川成都一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈-1,0时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=cos πx在-52,12上的所有实数解之和为(  )
A.-7  B.-6  C.-3  D.-1
答案 A
解析 因为函数是偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数是周期为2的偶函数,画出函数图象如图:
 
两个函数在区间-52,12上有7个交点,中间点是x=-1,其余6个交点关于x=-1对称,所以任一组对称点的横坐标之和为-2,所以这7个交点的横坐标之和为3×(-2)-1=-7,故选A.
8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f(x)=ex,x≥0,lg-x,x<0,若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t的取值范围为(  )
A.(-∞,-2]   B.[1,+∞)
C.[-2,1]   D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
答案 A
解析 设m=f(x),作出函数f(x)的图象,如图所示,则当m≥1时,m=f(x)有两个根,当m<1时,m=f(x)有一个根,若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则等价为m2+m+t=0有两个不同的实数根m1,m2,且m1≥1,m2<1,当m=1时,t=-2,此时由m2+m-2=0,解得m=1或m=-2,f(x)=1有两个根,f(x)=-2有一个根,满足条件;当m≠1时,设h(m)=m2+m+t,则需h(1)<0即可,即1+1+t<0,解得t<-2.综上实数t的取值范围为t≤-2,故选A.
 
9.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3f 2(x)+2af(x)+b=0的不同实根的个数是(  )
A.3  B.4  C.5  D.6
答案 A
解析 函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,说明方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的两根为x1,x2,
∴方程3f 2(x)+2af(x)+b=0的解为f(x)=x1或f(x)=x2,若x1<x2,即x1是极大值点,x2是极小值点,
由于f(x1)=x1,
∴x1是极大值,f(x)=x1有两解,x1<x2,f(x)=x2>f(x1)只有一解,
∴此时只有3解,
若x1>x2,即x1是极小值点,x2是极大值点,由于f(x1)=x1,
∴x1是极小值,f(x)=x1有2解,x1>x2,f(x)=x2<f(x1)只有一解,
∴此时只有3解.
综上可知,选A.
10.(2017·天津市十二重点中学联考)已知函数f(x)=2x-1,0≤x≤1,fx-1+m,x>1在定义域0,+∞上单调递增,且对于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一个实数解,则函数g(x)=f(x)-x在区间0,2n(n∈N*)上的所有零点的和为(  )
A.nn+12   B.22n-1+2n-1
C.1+2n22   D.2n-1
答案 B
解析 函数f(x)=2x-1,0≤x≤1,fx-1+m,x>1在定义域[0,+∞)上单调递增,且对于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一个实数解,则f(x)是连续函数,则21-1=f(0)+m,可得m=1,画出y=f(x)与y=x的图象如图:
 
图象交点横坐标就是g(x)=f(x)-x的零点,由图知,在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为1+2+3…+(2n-1)+2n=22n-1+2n-1,故选B.
11.设函数f(x)=1,x=1,loga|x-1|+1,x≠1,若函数g(x)=f2(x)+bf(x)+c有三个零点x1,x2,x3,则x1x2+x2x3+x1x3=________.
答案 2
解析 作出函数f(x)的图象如图所示,由图可得关于x的方程f(x)=t的解有两个或三个(t=1时有三个,t≠1时有两个),所以关于t的方程t2+bt+c=0只能有一个根t=1(若有两个根,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有四个或五个零点),由f(x)=1,可得x1,x2,x3的值分别为0,1,2,x1x2+x2x3+x1x3=0×1+1×2+0×2=2.
 
12.设函数f(x)=x3-2ex2+mx-ln x,记g(x)=fxx,若函数g(x)至少存在一个零点,则实数m的取值范围是__________.
答案 -∞,e2+1e
解析 令g(x)=x2-2ex+m-ln xx=0,
∴m=-x2+2ex+ln xx(x>0),
设h(x)=-x2+2ex+ln xx,令f1(x)=-x2+2ex,
f2(x)=ln xx,∴f2′(x)=1-ln xx2,
发现函数f1(x),f2(x)在(0,e)上都单调递增,在(e,+∞)上都单调递减,∴函数h(x)=-x2+2ex+ln xx在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴当x=e时,h(x)max=e2+1e,∴函数有零点需满足m≤h(x)max,即m≤e2+1e.
13.(2017届柳州模拟)设定义域为R的函数f(x)=5|x-1|-1,x≥0,x2+4x+4,x<0,若关于x的方程f 2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7个不同的实数解,则m=__________.
答案 2
解析 令t=f(x),作出函数f(x)的图象如图所示:
 
由图可知方程t2-(2m+1)t+m2=0有两个不等实根,其中一根为4,另一根在(0,4)上.由42-(2m+1)×4+m2=0⇒m=2或m=6,又当m=2时,另一根为1,满足题意;当m=6时,另一根为9,不满足题意,故m=2.
14.(2017·山西省实验中学模拟)已知函数f(x)=ex-2+x-3(e为自然对数的底数),g(x)=x2-ax-a+3.若存在实数x1, x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且x1-x2≤1,则实数a的取值范围是______________.
答案 2,3
解析 函数f(x)=ex-2+x-3的导数为f′(x)=ex-2+1>0,f(x)在R上单调递增,
由f(2)=0,可得f(x1)=0的解为x1=2,
存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|≤1,
即为g(x2)=0且|2-x2|≤1,即x2-ax-a+3=0在[1,3]上有解,
即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1-2在[1,3]上有解,
令t=x+1(2≤t≤4),由t+4t-2在[2,4]上单调递增,
可得最小值为2,最大值为3,则a的取值范围是[2,3].
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