2018届高三数学(文)上学期期末质检试卷(厦门市附答案)

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2018届高三数学(文)上学期期末质检试卷(厦门市附答案)

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厦门市2018届高三年级第一学期期末质检
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则 (    )
A.          B.        C.        D.
2.已知命题 ,命题 ,则下列命题中的真命题为(    )
A.          B.        C.        D.
3.已知 , , ,则(    )
A.          B.        C.         D.
4.已知 , ,则 的值是(    )
A.          B.        C.          D.
5.若 满足约束条件 则 的最大值是(    )
A.1         B.3       C.5         D.7
6.设 表示直线, 表示平面,则下列命题正确的是(    )
A.若 ,则          B.若 ,则
C.若 ,则          D.若 ,则
7.已知数列 满足 ,则其前100项和为(    )
A.250         B.200       C.150         D.100
8.函数 在区间 上的图象大致为(    )
   
A.                 B.                C.                D.
9.已知双曲线 的左焦点为 , 为坐标原点, 为双曲线的渐近线上两点,若四边形 是面积为 的菱形,则该渐近线方程为(    )
A.          B.        C.          D.
10.习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前 项和的程序框图.执行该程序框图,输入 ,则输出的 (    )
A.44         B.68       C.100         D.140
 
 
11.在 中, , , , .若 ,则实数 的值为(    )
A.-2         B.        C.          D.
12.函数 和函数 的图象相交于 两点, 为坐标原点,则 的面积为(    )
A.          B.        C.          D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若复数满足 ,则           .
14.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为          .
 
15.已知函数 若函数 存在零点,则实数 的取值范围为          .
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在椭圆上,且 垂直 轴,若直线 的斜率为 ,则该椭圆的离心率为          .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在 中, 是边 上的点, , .
(1)求 ;
(2)若 ,求 的面积.
18.已知等差数列 的公差 ,其前 项和为 ,且 , 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
19.如图,四棱锥 中,侧面 底面 , , , , .
(1)求证: 平面 ;
(2)若三棱锥 的体积为2,求 的面积.
 
20.在直角坐标系 中, ,动点 满足:以 为直径的圆与 轴相切.
(1)求点 的轨迹方程;
(2)设点 的轨迹为曲线 ,直线 过点 且与 交于 两点,当 与 的面积之和取得最小值时,求直线 的方程.
21.已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时,记函数 的极小值为 ,若 恒成立,求满足条件的最小整数 .
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 为 上两点,且 ,设射线 ,其中 .
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)求 的最小值.
23.选修4-5:不等式选讲
函数 .
(1)当 时,求证: ;
(2)若 的最小值为2,求实数 的值.
 


厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案
一、选择题
1-5:BCDAD       6-10:CDBAC      11、12:DA
二、填空题
13.           14.            15. 或            16.
三、解答题
17.解:(1)在 中,  ,

由 ,得
在 中,由正弦定理得 ,
所以
(2)因为 , 是锐角,所以
设 ,在 中,

化简得:
解得 或 (舍去)

由 和 互补,得
所以 的面积
18.解:(1)因为 ,即
 即 ,①
因为 为等比数列,即
所以 ,化简得: ②
联立①和②得: ,
所以
(2)因为 
所以 
 
 
 
19.解:(1)∵平面 平面 ,平面 平面 ,
 平面 ,且 ,
∴ 平面 .
又∵ 平面 ,∴ .
又∵ ,
 , 平面 ,
∴ 平面 .
(2)取 中点 ,连接 .
∵ ,∴ .
又∵ 平面 ,平面 平面 ,
平面 平面 ,
∴ 平面 .
∴ 为三棱锥 的高,且 .
又∵ , ,∴ .
∴ ,得 .
 .
又∵ 平面 且 平面 ,∴ .
∴ .
 
20.解:(1)设点 ,圆心 ,
圆与 轴相切于点 ,则 ,
所以 ,
又点 为 的中点,所以 ,
所以 ,整理得: .
所以点 的轨迹方程为: .
 
(2)(ⅰ)当直线 的斜率不存在时,方程为: ,
易得 .
(ⅱ)当直线 的斜率存在时,设方程为: , , ,
由 消去 并整理得: ,
所以 , ,
所以  ,
当且仅当 时等号成立,又 ,
所以 , 或 , ,
所以 ,解得: ,
因为 ,所以当两个三角形的面积和最小时,
直线 的方程为: .
21.解:(1) 的定义域为 ,
 
①若 ,当 时, ,
故 在 单调递减,
②若 ,由 ,得 ,
(ⅰ)若 ,当 时, ,
当 时, ,
故 在 单调递减,在 , 单调递增
(ⅱ)若 , , 在 单调递增,
(ⅲ)若 ,当 时, ,
当 时, ,
故 在 单调递减,在 , 单调递增
(2)由(1)得:若 , 在 单调递减,
在 , 单调递增
所以 时, 的极小值为
由 恒成立,
即 恒成立
设 ,
令 ,
当 时,
所以 在 单调递减,
且 ,
所以 , ,
且 , , ,
所以 ,
因为
得 其中 ,
因为 在 上单调递增
所以
因为 , ,所以
22.解:(1)将 的方程化为直角坐标方程为 ,即 .
将 , 代入可得
化简得
(2)根据题意:射线 的极坐标方程为 或 .
 ,
则 
 ,
当且仅当 ,即 时,取得最小值 .
故 的最小值为 .
23.解:(1)依题意: 
 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
(2)①当 ,即 时,
则当 时, ,故 .
②当 ,即 时,
则当 时, ,故 .
③当 时,即 时, 有最小值0,不符合题意,舍去.

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