2018届高三数学(理)上学期期末质检试卷(厦门市含答案)

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2018届高三数学(理)上学期期末质检试卷(厦门市含答案)

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厦门市2018届高三年级第一学期期末质检
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则 (    )
A.          B.        C.        D.
2.命题“ ”的否定是(    )
A.          B.
C.           D.
3.实数 满足 ,则(    )
A.          B.        C.         D.
4.若 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是(    )
A.若 ,则
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若 ,则
5.已知实数 满足 则目标函数 的最大值等于(    )
A.-7         B.        C.2         D.3
6.如图所示,函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ,则 的面积等于(    )
 
A.          B.        C.          D.
7.已知正方形 的边长为2,对角线相交于点 , 是线段 上一点,则 的最小值为(    )
A.-2         B.        C.          D.2
8.函数 的大致图象是(    )
   
A.                   B.                   C.                    D.
9. 中, , 是双曲线 的左、右焦点,点 在 上,若 ,则 的离心率为(    )
A.          B.        C.          D.
10.习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前 项和的程序框图.执行该程序框图,输入 ,则输出的 (    )
A.100         B.140       C.190         D.250
 
 
11.若锐角 满足 ,则函数 的单调增区间为(    )
A.          B.
C.          D.
12.已知函数 若 ,则 的取值范围是(    )
A.               B.
C.          D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.复数 满足 ,则           .
14.设等比数列 满足 , ,则           .
15.直线 与抛物线 交于 两点,若 ,则           .
16.某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为          .
 
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,单位圆 与 轴正半轴的交点分别为 ,圆 上的点 在第一象限.
(1)若点 的坐标为 ,延长 至点 ,使得 ,求 的长;
(2)圆 上的点 在第二象限,若 ,求四边形 面积的最大值.
 
18.如图,直角梯形 中, , , ,等腰梯形 中, , , ,且平面 平面 .
(1)求证: 平面 ;
(2)若 与平面 所成角为 ,求二面角 的余弦值.
 
19.数列 满足 .
(1)若数列 为公差大于0的等差数列,求 的通项公式;
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
20.已知点 ,圆 ,点 是圆上一动点, 的垂直平分线与 交于点 .
(1)求点 的轨迹方程;
(2)设点 的轨迹为曲线 ,过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点,点 关于 轴的对称点为 ,证明直线 过定点,并求 面积的最大值.
21.已知函数 .
(1)若 ,函数 的极大值为 ,求实数 的值;
(2)若对任意的 , 在 上恒成立,求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 为 上两点,且 ,设射线 ,其中 .
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)求 的最小值.
23.选修4-5:不等式选讲
函数 .
(1)当 时,求证: ;
(2)若 的最小值为2,求实数 的值.

 

 

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:BCBDC       6-10:ACADC      11、12:BD
二、填空题
13.           14.28           15.            16.
三、解答题
17.解:(1)由点 在单位圆上,可知 ,
由图象可得 ;
 
在 中, , , ;
由余弦定理得 ;
解得 ;
(2)设 ,
 ,
四边形 的面积
 
 
∵ ,∴ ;
当 ,即 时,四边形 的面积 的最大值为 .
18.证明:(1)∵平面 平面 , ,平面 平面
∴ 平面 ,
又 平面 ,∴ ,
又∵ ,且 ,
∴ 平面 .
解:(2)设 ,∵四边形 为等腰梯形, , ,
∴ , ,
∵ ,∴四边形 为平行四边形,
∴ ,
又∵ 平面 ,∴ 平面 ,
∴ 为 与平面 所成的角,
∴ ,
又∵ ,∴
以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,
 
则 , , , ,
 , ,
∵ 平面 ,∴平面 的法向量为 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 得
令 得, ,
 .
∴二面角 的余弦值为 .
19.解:(1)由已知:
当 时, ①,即
当 时, ②
②-①,得 ;即
设等差数列 公差为 ,由 ,

因为 ,解得 ,

(2)由已知: ③
当 时, ④
③-④得:当 时, ,即 ,
结合 ,得:
 
 
 
 
20.解:(1)由已知得: ,所以
又 ,所以点 的轨迹是以 为焦点,长轴长等于4的椭圆,
所以点 的轨迹方程是 .
(2)设直线 , , ,则 ,
联立直线 与椭圆得 ,
得 ,

∴ ,所以直线 ,
所以令 ,得 ,
 ,
所以直线 过定点 ,
所以 的面积
 ,当且仅当 时,等号成立.
所以 面积的最大值是 .
21.解:(1)由题意,
  .
(ⅰ)当 时, ,
令 ,得 ; ,得 ,
所以 在 单调递增, 单调递减.
所以 的极大值为 ,不合题意.
(ⅱ)当 时, ,
令 ,得 ; ,得 或 ,
所以 在 单调递增, , 单调递减.
所以 的极大值为 ,得 .
综上所述 .
(2)令 , ,
当 时, ,
则 对 恒成立等价于 ,
即 ,对 恒成立.
(ⅰ)当 时, , , ,
此时 ,不合题意.
(ⅱ)当 时,令 , ,
则 ,其中 , ,
令 ,则 在区间 上单调递增,
① 时, ,
所以对 , ,从而 在 上单调递增,
所以对任意 , ,
即不等式 在 上恒成立.
② 时,由 , 及 在区间 上单调递增,
所以存在唯一的 使得 ,且 时, .
从而 时, ,所以 在区间 上单调递减,
则 时, ,即 ,不符合题意.
综上所述, .
22.解:(1)将 的方程化为直角坐标方程为 ,即 .
将 , 代入可得
化简得
(2)根据题意:射线 的极坐标方程为 或 .
 ,
则 
 ,
当且仅当 ,即 时,取得最小值 .
故 的最小值为 .
23.解:(1)依题意: 
 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
(2)①当 ,即 时,
则当 时, ,故 .
②当 ,即 时,
则当 时, ,故 .
③当 时,即 时, 有最小值0,不符合题意,舍去.

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