2018届高三数学理第一次教学质量检测试卷(合肥市带答案)

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2018届高三数学理第一次教学质量检测试卷(合肥市带答案)

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5 Y k j.CoM

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测
数学理试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 为虚数单位,则 (   )
A.5         B.         C.         D.
2.已知等差数 ,若 ,则 的前7项的和是(   )
A.112         B.51       C.28       D.18
3.已知集合 是函数 的定义域,集合 是函数 的值域,则 (   )
A.                   B.        
C. 且        D. 
4.若双曲线 的一条渐近线方程为 ,该双曲线的离心率是(   )
A.           B.         C.         D. 
5.执行如图程序框图,若输入的 等于10,则输出的结果是(   )
 
A.2         B.         C.         D. 
6.已知某公司生产的一种产品的质量 (单位:克)服从正态分布 .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在 内的产品估计有(   )
(附:若 服从 ,则 , )
A.3413件         B.4772件       C.6826件       D.8185件
7.将函数 的图像先向右平移 个单位,再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的 倍,得到 的图像,则 的可能取值为(   )
A.           B.         C.        D.
8.已知数列 的前 项和为 ,若 ,则 (   )
A.           B.         C.         D. 
9.如图,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(   )
 
A.           B.         C.         D.  
10.已知直线 与曲线 相切(其中 为自然对数的底数),则实数 的值是(   )
A.           B.1       C.2       D. 
11.某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在 两种设备上加工,生产一件甲产品需用 设备2小时, 设备6小时;生产一件乙产品需用 设备3小时, 设备1小时.  两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为(   )
A.320千元         B.360千元       C.400千元       D.440千元
12.已知函数 (其中 为自然对数的底数),若函数 有4个零点,则 的取值范围为(   )
A.           B.         C.         D. 
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 若平面向量 满足 ,则           .
14.已知 是常数, ,且 ,则           .
15.抛物线 的焦点为 ,准线 与 轴交于点 ,过抛物线 上一点 (第一象限内)作 的垂线 ,垂足为 .若四边形 的周长为16,则点 的坐标为          .
16.在四面体 中, ,二面角 的大小为 ,则四面体 外接球的半径为          .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知 的内角 的对边分别为 , .
(1)求角 ;
(2)若 ,求 的周长的最大值.
18.2014年9月,国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科.每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 目,政治、历史、地理为社会科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.
(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科目的概率;
(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目,两个科目属于自然科目.若该考生所选的社会科目考试的成绩获 等的概率都是0.8,所选的自然科目考试的成绩获 等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量 表示他所选考的三个科目中考试成绩获 等的科目数,求 的分布列和数学期望.
19.如图,在多面体 中, 是正方形, 平面 , 平面 , ,点 为棱 的中点.
 
(1)求证:平面 平面 ;
(2)若 ,求直线 与平面 所成的角的正弦值.
20.在平面直角坐标系中,圆 交 轴于点 ,交 轴于点 .以 为顶点, 分别为左、右焦点的椭圆 ,恰好经过点 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)设经过点 的直线 与椭圆 交于 两点,求 面积的最大值.
21.已知 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 恒成立,求 的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线  ( 为参数),在以 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 .
(1)求曲线 的普通方程;
(2)若曲线 上有一动点 ,曲线 上有一动点 ,求 的最小值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(1)解关于 的不等式 ;
(2)若关于 的不等式 的解集不是空集,求 的取值范围.
 

试卷答案
一、选择题
1-5: ACBCC      6-10: DDACB     11、12:BD
二、填空题
13.            14. 3          15.             16. 
三、解答题
17. 解:(1)根据正弦定理,由已知得: ,
即 ,
∴ ,
∵ ,∴ ,
∴ ,从而 .
∵ ,∴ .
(2)由(1)和余弦定理得 ,即 ,
∴ ,
即  (当且仅当 时等号成立).
所以, 周长的最大值为 .
18. (1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科目”为事件 ,
则 ,
所以该位考生选考的三个科目中,至少有一个自然科目的概率为 .
(2)随机变量 的所有可能取值有0, 1,2,3.
因为 ,
 ,
 ,
 ,
所以 的分布列为
 
所以 .
19.(1)证明:连结 ,交 于点 ,
∴ 为 的中点,∴ .
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
∵ 都垂直底面 ,
∴ .
∵ ,
∴ 为平行四边形,∴ .
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
又∵ ,∴平面 平面 .
(2)由已知, 平面 , 是正方形.
∴ 两两垂直,如图,建立空间直角坐标系 .
设 ,则 ,从而 ,
∴ ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 得 .
令 ,则 ,从而 .
∵ ,设 与平面 所成的角为 ,则
 ,
所以,直线 与平面 所成角的正弦值为 .
 
20.(1)由已知可得,椭圆 的焦点在 轴上.
设椭圆 的标准方程为 ,焦距为 ,则 ,
∴ ,∴椭圆 的标准方程为 .
又∵椭圆 过点 ,∴ ,解得 .
∴椭圆 的标准方程为 .
(2)由于点 在椭圆 外,所以直线 的斜率存在.
设直线 的斜率为 ,则直线 ,设 .
由 消去 得, .
由 得 ,从而 ,
∴ .
∵点 到直线 的距离 ,
∴ 的面积为 .
令 ,则 ,
∴  ,
当 即 时, 有最大值, ,此时 .
所以,当直线 的斜率为 时,可使 的面积最大,其最大值 .
21.(Ⅰ) 的定义域为 , .
∵ .
令 ,则
(1)若 ,即当 时,对任意 , 恒成立, 即当 时, 恒成立(仅在孤立点处等号成立).
∴ 在 上单调递增.
(2)若 ,即当 或 时, 的对称轴为 .
①当 时, ,且 .
如图,任意 , 恒成立, 即任意 时, 恒成立,
 
∴ 在 上单调递增.
②当 时,  ,且 .
如图,记 的两根为 
 
∴当 时, ;
当 时, .
∴当 时, ,
当 时, .
∴ 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 和 上单调递增,
在 上单调递减.
(Ⅱ) 恒成立等价于 , 恒成立.
令 ,则 恒成立等价于 ,   .
要满足 式,即 在 时取得最大值.
∵ .
由 解得 .
当 时, ,
∴当 时, ;当 时, .
∴当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,从而 ,符合题意.
所以, .
22. (1)由 得: .
因为 ,所以 ,
即曲线 的普通方程为 .
(2)由(1)可知,圆 的圆心为 ,半径为1.
设曲线 上的动点 ,
由动点 在圆 上可得: .

 当 时, ,
∴ .
23.(1) ,
 或 或
 或  ,
所以,原不等式的解集为 .
(2)由条件知,不等式 有解,则 即可.
由于 ,
当且仅当 ,即当 时等号成立,故 .
所以, 的取值范围是 .
 


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