2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(天津市和平区含答案)

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2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(天津市和平区含答案)

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天津市和平区2018届高三上学期期末考试
数学(文)试题
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 (    )
A.                B.
C.        D.
2.“ ”是“关于 的方程 有实数根”的(    )
A.充分不必要条件         B.必要不充分条件
C.充要条件               D.既不充分也不必要条件
3.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为(    )
A.9         B.7       C.-3        D.-7
4.已知直线 为双曲线 的一条渐近线,则该双曲线的离心率是(    )
A.          B.        C.          D.
5.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出的 的值为(    )
 
A.56         B.72       C.84         D.90
6.将函数 的图象向右平移 个单位,得到图象对应的解析式为(    )
A.                B.
C.                 D.
7.如图,正方形 的边长为2, 为 的中点, ,则 的值为(    )
 
A.          B.        C.          D.
8.已知函数 若始终存在实数 ,使得函数 的零点不唯一,则 的取值范围是(    )
A.          B.        C.          D.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)
9.已知 是虚数单位,则复数           .
10.某校高中共有720人,其中理科生480人,文科生240人,现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研,则抽取理科生的人数          .
11.一个由棱锥和半球体组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为          .
 
12.已知函数 ,若 ,则 的值为
13.已知 ,则 的最小值为          .
14.已知数列 的通项 ,若数列 的前 项和为 ,则           .(用数字作答)
三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在 中,角 所对的边分别是 ,且 .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)若 , ,求 的面积.
16.某企业生产一种产品,质量测试分为:指标不小于90为一等品,不小于80小于90为二等品,小于80为三等品,每件一等品盈利50元,每件二等品盈利30元,每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下:
 
根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.
(Ⅰ)求出甲生产三等品的概率;
(Ⅱ)求出乙生产一件产品,盈利不小于30元的概率;
(Ⅲ)若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件,估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元?
17.如图,在五面体 中,四边形 是矩形, , , , , 为 的中点, 为线段 上一点,且 .
 
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)求证:平面 平面 .
18.已知 是等差数列, 是等比数列,其中 , , .
(Ⅰ)求数列 与 的通项公式;
(Ⅱ)记 ,求数列 的前 项和 .
19.已知椭圆 的离心率为 ,以椭圆的短轴为直径的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设椭圆过右焦点 的弦为 、过原点的弦为 ,若 ,求证: 为定值.
20.已知函数 , ,且曲线 与 在 处有相同的切线.
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)求证: 在 上恒成立;
(Ⅲ)当 时,求方程 在区间 内实根的个数.
 


和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学(文)学科
期末质量调查试卷参考答案
一、选择题
1-4:CABD       5-8:BDAC
二、填空题
9.            10.60           11.
12.-1          13.4           14.480
三、解答题
15.解:(Ⅰ)由 及正弦定理,得 .
∵ ,
∴ .
由余弦定理,得
 .
(Ⅱ)由已知 , ,得 .
∵在 中, 为锐角,且 ,
∴ .
∴ .
由 , 及公式 ,
∴ 的面积 .
16.解:(Ⅰ)依题意,甲生产三等品,即为测试指标小于80,
所求概率为: .
(Ⅱ)依题意,乙生产一件产品,盈利不小于30元,即为测试指标不小于80,
所求概率为: .
(Ⅲ)甲一天生产30件产品,其中:
三等品的件数为 ,
二等品的件数为 ,
一等品的件数为 ;
乙一天生产40件产品,其中:
三等品的件数为 ,
二等品的件数为 ,
一等品的件数为 .
则 .
∴估计甲、乙两人一天共为企业创收2000元.
17.证明:(Ⅰ)连接 交 于 点,则 为 的中点,连接 .
∵在 中, 为 的中点, 为 的中点.
∴ .
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
(Ⅱ)连接 .
 
∵四边形 是矩形, ,
∴ ,且 .
∵ , , ,
∴ .
∵ , ,
∴ .
∴四边形 是平行四边形.
∴ , .
∵在 中, , , ,
∴ .
∵在 中, , , ,
∴ 是直角三角形.
∴ .
∴ .
(Ⅲ)∵在 中, ,
∴ 为等边三角形.
∵ 为 的中点,
∴ .
同理,由 为等边三角形,可得 .
∵ ,
∴ 平面 .
∵ 平面 ,
∴平面 平面 .
18.解:(Ⅰ)设数列 的公差为 ,数列 的公比为 ,
由 ,得 , ,
由 , ,得 , ,
∴ .
∴ 的通项公式 , 的通项公式 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 , ,
故 .
则 .
令 ,①
则 ,②
由②-①,得  .
∴  .
19.解:(Ⅰ)依题意,原点到直线 的距离为 ,
则有 .
由 ,得 .
∴椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)证明:(1)当直线 的斜率不存在时,易求 , ,
则 .
(2)当直线 的斜率存在时,
设直线 的斜率为 ,依题意 ,
则直线 的方程为 ,直线 的方程为 .
设 , , , ,
由 得 ,
则 , ,
 
 
 .
由 整理得 ,则 .
 .
∴ .
综合(1)(2), 为定值.
 
20.解:(Ⅰ)∵ , , ,
∴ .
∵ , ,
∴ , .
∵ ,即 ,
∴ .
(Ⅱ)证明:设 ,
 .
令 ,则有 .
当 变化时, 的变化情况如下表:
 
∴ ,即 在 上恒成立.
(Ⅲ)设 ,其中 ,
 .
令 ,则有 .
当 变化时, 的变化情况如下表:
 
∴  .
 ,
设 ,其中 ,则 ,
∴ 在 内单调递减, ,
∴ ,故 ,而 .
结合函数 的图象,可知 在区间 内有两个零点,
∴方程 在区间 内实根的个数为2.
 

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