2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(泸州泸县第五中学附答案)

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2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(泸州泸县第五中学附答案)

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2017年秋四川省泸州市泸县第五中学高三期末考试
数学试题(文)
考试时间:120分钟    满分:150分
注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息       2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题 60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 是实数集 ,函数 的定义域为 ,则 =
A.         B.           C.           D.
2.若复数满足  ( 为虚数单位),则 的共轭复数为
A.                 B.                C.              D.
3.已知 ,  ,则 , 的夹角是
A.                B.                C.                D.
4.“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件       B.必要而不充分条件       C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件
5.已知实数 满足 ,且 的最大值为6,则实数 的值为
A. 6                    B. 5                  C. 4                   D. 3
6.如图,一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行,则其恰在
离三个顶点距离都大于1的位置的概率为
A.          B.          C.           D.
7.已知某几何体的三视图如图所示,三视图是边长为 的等腰三角形和边长为 的正方形,则该几何体的体积为

A.             B.               C.           D.
8.若 ,  ,则 等于
A.              B.              C.             D.
9.在数列 中,  ,则 =
A.            B.          C.           D.
10.已知正四棱锥 的底面是边长为 的正方形,若一个半径为 的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是
A.                  B.                     C.                 D.
11.过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线,交抛物线于 两点,则 
A.               B.             C.              D.
12.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图像上,则实数 的取值范围是
A.                B.                 C.                 D.
第II卷(非选择题 90分)
试题答案用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上,答在试卷上概不给分.
二、填空题(本大题共4个小题,5分每题,共20分)
13.计算:                .
14.函数 图象的一条对称轴是 ,则 的值是           .
15.已知函数错误!未找到引用源。是偶函数,则函数错误!未找到引用源。的最小值为                   .
16.已知椭圆 与双曲线  有相同的焦点 和 ,若 是 、 的等比中项, 是 与 的等差中项,则椭圆的离心率是             .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 ,且
(I)求角A的大小;      (II)求 的取值范围.

 

18.(本小题满分12分)
炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量 与冶炼时间 (从炉料溶化完毕到出钢的时间)的一组数据,如表所示:
 (0.01%)
104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
 /min
100 200 210 185 155 135 170 205 235 125

(I) 与 是否具有线性相关关系?
(II)如果 与 具有线性相关关系,求回归直线方程.
(III)预报当钢水含碳量为160个0.01%时,应冶炼多少分钟?
参考公式:r=     ,线性回归方程


19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱 中,  为 的中点,  .
(I)证明:  平面 ;
(II)若 ,求点 到平面 的距离.
 


20.(本小题满分12分)
已知椭圆 的右焦点为 ,上顶点为 ,直线 与直线 垂直,椭圆 经过点 .
(I)求椭圆 的标准方程;
(II)过点 作椭圆 的两条互相垂直的弦 .若弦 的中点分别为 ,证明:直线 恒过定点.

 

21.(本小题满分12分)
设函数 .
(I) 时,求函数 的极值点;
(Ⅱ)当 时,证明 在(0,+∞)上恒成立.
 

请考生在22、23题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 过极坐标系内的两点 和 .
(I)写出曲线 的普通方程,并求直线 的斜率;
(II)设直线 与曲线 交于 两点,求 .

23.(本小题满分10分)已知函数 ,  .
(I)当 时,解不等式 ;
(II)若存在 满足 ,求 的取值范围.
 


2017年秋四川省泸州市泸县第五中学高三期末考试
数学(文)参考答案
1.D      2.D          3.B       4.A        5.D             6.D
7.A        8.A        9.A       10.B        11.C           12.A
13.3               14.              15.1.             16.
17.解:(1)由正弦定理,得
∴ ,即
∵B为 的内角    ∴ ∴ .
∵A为 的内角      ∴ .
(2)  =  =  = 
 = =
由 可知,  ∴ , 
 ,
故 的取值范围为

18.=159.8,    =172,     =265448,      =312350,  iyi=287640
于是r= ≈0.9906>0.75.
∴y与x具有线性相关关系.
(2)利用(1)中所求的数据可以求得 , 的值为
 = ≈1.267,          =- =-30.47,
∴所求的回归直线方程 =1.267x-30.47.
(3)当x=160时, =1.267×160-30.47≈172(min),即大约需要冶炼172分钟.
19.(1)证明:
∵直三棱柱 ,∴ 平面 ,
∵ 平面 ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∵ ,∴ 平面 .
∵ 平面 ,∴ ,
∵ 为 的中点,∴ ,
∴ 与 相似,且有 ,
∵ ,∴   ;
(2)在矩形 中,  为 的中点,
可得 ,
在 ,由 可得 ,
从而可求得 ,显然有 ,即 ,
 为点 到平面 的距离,∵ 平面 ,
由 ,可得 ,
计算得 ,  ,
∴ ,可推出 ,
∴点 到平面 的距离是 .
20.解:(1)因为直线 与直线 垂直,
所以 ( 为坐标原点),即 ,所以 .
因为点 在椭圆 上,所以 ,
由 ,解得 ,
所以椭圆 的标准方程为 .
(2)①当直线 的斜率都存在时,
设直线 的方程为 ,
则直线 的方程为 ,
由 消去x整理得 ,
设 ,
则 ,
由中点坐标公式得 ,
用 代替点M坐标中的 可得 .
所以直线 的方程为 ,
令 ,得 ,所以直线 经过定点 .
②当直线 或 的斜率不存在时,可知直线 为 轴,也经过定点 .
综上所述,直线 经过定点 .

21.解:(Ⅰ)由题意得函数的定义域为(0,+∞),
∵ f(x)=lnx+ ax2+x+1,
∴f′(x)= ﹣2x+1= ,
令f′(x)>0,解得0<x<1;令f′(x)<0,解得x>1,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴x=1是函数f(x)的极大值点,无极小值点;
(Ⅱ)证明:当a=0时,f(x)=lnx+x+1
令F(x)=xex﹣f(x)=xex﹣lnx﹣x﹣1,(x>0),则F′(x)=  •(xex﹣1),
令G(x)=xex﹣1,则G′(x)=(x+1)ex>0,(x>0),
∴函数G(x)在(0,+∞)递增,又G(0)=﹣1<0,G(1)=e﹣1>0,
∴存在唯一c∈(0,1)使得G(c)=0,
且F(x)在(0,c)上单调递减,在(c,+∞)上单调递增,
故F(x)≥F(c)=c•ec﹣lnc﹣c﹣1,
由G(c)=0,得c•ec﹣1=0,得lnc+c=0,∴F(c)=0,
∴F(x)≥F(c)=0,从而证得xex≥f(x).

22.解:(1)由题意得曲线 的普通方程为 ,∵ ,∴直线 的斜率为 .
(2)易知直线 的参数方程为 ( 为参数)代入 ,得 ,
设方程 的两个根为 ,所以 .
23.解:(1)当 时,  .由 得 .
当 时,不等式等价于 ,解得 ,所以 ;
当 时,等价于 ,即 ,所以 ;
当 时,不等式等价于 ,解得 ,所以 .
故原不等式的解集为 .
(2) ,
 原命题等价于 ,  ,  .

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