2018届高三数学理教学质量监测(一)试卷(沈阳市含答案)

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2018届高三数学理教学质量监测(一)试卷(沈阳市含答案)

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2018年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若 是虚数单位,则复数 的实部与虚部之积为(  )
A.     B.     C.     D.
2.设集合 , ,则(  )
A.     B.    
C.     D.
3.命题“若 ,则 ”的逆否命题是(  )
A.若 ,则     B.若 ,则    
C.若 ,则     D.若 ,则
4.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数 的值为(  )
 
A.-3    B.-3或9    C.3或-9    D.-9或-3
5.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率 ,理论上能把 的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是(  )
A.     B.     C.     D.
6.如图所示,络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )
 
A.     B.     C.     D.
7.设 满足约束条件 ,则 的最大值是(  )
A.-15    B.-9    C.1    D.9
8.若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有(  )种不同的站法.
A.4    B.8    C.12    D.24
9.函数 在 的单调递增区间是(  )
A.     B.     C.     D.
10.已知双曲线 的一条渐近线与圆 相切,则该双曲线的离心率为(  )
A.2    B.     C.     D.
11.在各项都为正数的等比数列 中,若 ,且 ,则数列 的前 项和是(  )
A.     B.     C.     D.
12.设函数 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, ,若在区间 内关于 的方程 ( 且 )有且只有4个不同的根,则实数 的取值范围是(  )
A.     B.     C.     D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上.
13.已知随机变量 ,若 ,则           .
14.在推导等差数列前 项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得           .
15.已知正三角形 ( 为坐标原点)的顶点 在抛物线 上,则 的边长是          .
16.已知 是直角边为2的等腰直角三角形,且 为直角顶点, 为平面 内一点,则 的最小值是          .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.在 中,已知内角 对边分别是 ,且 .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)若 , 的面积为 ,求 .
18.如图所示,在四棱锥 中,平面 平面 ,底面 是正方形,且 , .
 
(Ⅰ)证明:平面 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
19.高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占 、朋友聚集的地方占 、个人空间占 .美国高中生答题情况是:家占 、朋友聚集的地方占 、个人空间占 .为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下 列联表.
 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计
中国高中生   
美国高中生   
合计   
(Ⅰ)请将 列联表补充完整;试判断能否有 的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为 ,求随机变量 的分布列及期望.
附: ,其中 .
 
0.050 0.025 0.010 0.001
 
3.841 5.024 6.635 10.828
20.设 为坐标原点,动点 在椭圆 上,过 作 轴的垂线,垂足为 ,点 满足 .(Ⅰ)求点 的轨迹方程 ;
(Ⅱ)过 的直线 与点 的轨迹交于 两点,过 作与 垂直的直线 与点 的轨迹交于 两点,求证: 为定值.
21.已知 , .
(Ⅰ)求函数 图象恒过的定点坐标;
(Ⅱ)若 恒成立,求 的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,证明: 存在唯一的极小值点 ,且 .
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:极坐标与参数方程
设过原点 的直线与圆 的一个交点为 , 点为线段 的中点,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求点 的轨迹 的极坐标方程;
(Ⅱ)设点 的极坐标为 ,点 在曲线 上,求 面积的最大值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知 , ,函数 .
(Ⅰ)当 , 时,解关于 的不等式 ;
(Ⅱ)若函数 的最大值为2,求证: .
 

试卷答案
一、选择题
1-5:BCDBB    6-10:ACBCB    11、12:AD
二、填空
13.0.8    14.44.5    15.     16.-1
三、解答题
17.解:(Ⅰ)由正弦定理得
 





又 ∴
(Ⅱ)由面积公式可得

 

法2:可解出 或 代入 ,∴ .
18.(Ⅰ)证明:∵底面 为正方形,∴ .
又∵平面 平面 ,∴ 平面 .
又∵ 平面 ,∴ .
∵ , ,∴ 平面 .
∵ 平面 ,∴平面 平面 .
(Ⅱ)取 的中点为 , 的中点为 ,连接
易得 底面 ,
以 为原点,以 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,不妨设正方形的边长为2,可得 , , ,
设平面 的一个法向量为
而 ,
 即
取 得
设平面 的一个法向量为
而 ,
则 即 取 得
 
由图知所求二面角为钝角
故二面角 的余弦值为 .
 
法2:若以 为原点,建立空间直角坐标,如图,
不妨设正方形的边长为2
可得面 的法向量
面 的法向量
 
由图可得 为钝角
∴余弦值为 .
 
19.(Ⅰ)
 在家 其他 合计
中国 22 33 55
美国 9 36 45
合计 31 69 100
∴ 
∴有 的把握认为“恋家”与否与国别有关.
(Ⅱ)依题意得,5个人中2人来自于“在家中”是幸福,3人来自于“在其他场所”是幸福, 的可能取值为0,1,2
 , ,
∴ 的分布列为
 
0 1 3
 
 
 
 

∴ .
20.解:(Ⅰ)设 ,易知 , ,
又因为 ,所以 ,
又因为 在椭圆上,所以 ,即 .
(Ⅱ)当 与 轴重合时, , ,
∴ .
当 与 轴垂直时, , ,
∴ .
当 与 轴不垂直也不重合时,可设 的方程为
此时设 , , ,
把直线 与曲线 联立 ,
得 ,
可得
∴ ,
把直线 与曲线 联立 ,
同理可得 .
∴ .
21.(Ⅰ)因为要使参数 对函数值不发生影响,所以必须保证 ,
此时 ,所以函数的图象恒过点 .
(Ⅱ)依题意得: 恒成立,∴ 恒成立.
构造函数 ,
则 恒过 , ,
①若 时, ,∴ 在 上递增,
∴ 不能恒成立.
②若 时, ,∴ .
∵ 时, ,函数 单调递减;
 时, ,函数 单调递增,
∴ 在 时为极小值点, ,
∴要使 恒成立,只需 .
设 ,则函数 恒过 ,
 ,
 , ,函数 单调递增;
 , ,函数 单调递减,
∴ 在 取得极大值0,
∴要使函数 成立,只有在 时成立.
(Ⅲ) ,设
 ,令 ,
∴ 在 单调递减,在 单调递增,
 在 处取得极小值
可得 一定有2个零点,分别为 的一个极大值点和一个极小值点
设 为函数 的极小值点,则 ,∴ , ,
 
因为 ,因为 ,
所以在区间 上存在一个极值点,所以最小极值点在 内.
∵函数 的极小值点的横坐标 ,
∴函数 的极小值 ,∴
22.(Ⅰ)设 ,则
又点 的轨迹的极坐标方程为
∴ , , , .
(Ⅱ)直线 的直角坐标方程为
点 到直线的距离为
 .
23.解:(Ⅰ)当 时, .
不等式 为 .
①当 时,因为不等式为 ,所以不等式成立,
此时符合;符合要求的不等式的解集为 ;
②当 时,因为不等式为 ,所以 ,
此时,符合不等式的解集为 ;
③当 时,因为不等式为 不成立,解集为空集;
综上所述,不等式 的解集为 .
(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得
 , ,
∴ .
∴ ,
当且仅当 时,等号成立.
另解:(Ⅱ)因为 , ,所以 ,
所以函数
 ,
所以函数 的图象是左右两条平行于 轴的射线和中间连结成的线段,
所以函数的最大值等于 ,所以 .
∵ ,
∴ .
或者  ,
当且仅当 ,即 时,“等号”成立.
 

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