2018届高考数学(理)热点题型:三角函数与解三角形(附答案)

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2018届高考数学(理)热点题型:三角函数与解三角形(附答案)

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M 三角函数与解三角形
热点一 三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y=sin x,y=cos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.
【例1】已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间0,2π3上的最小值.
(1)解 因为f(x)=sin x+3cos x-3.
=2sinx+π3-3.
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)解 因为0≤x≤2π3,
所以π3≤x+π3≤π.
当x+π3=π,即x=2π3时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间0,2π3上的最小值为f2π3=-3.
【类题通法】求函数y=Asin(ωx+φ)+B周期与最值的模板
第一步:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的形式;
第二步:由T=2π|ω|求最小正周期;
第三步:确定f(x)的单调性;
第四步:确定各单调区间端点处的函数值;
第五步:明确规范地表达结论.
【对点训练】 设函数f(x)=32-3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间π,3π2上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)=32-3sin2ωx-sin ωxcos ωx
=32-3·1-cos 2ωx2-12sin 2ωx
=32cos 2ωx-12sin 2ωx=-sin2ωx-π3.
因为y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,故该函数的周期T=4×π4=π.
又ω>0,所以2π2ω=π,因此ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin2x-π3.
设t=2x-π3,则函数f(x)可转化为y=-sin t.
当π≤x≤3π2时,5π3≤t=2x-π3≤ 8π3,
如图所示,作出函数y=sin t在5π3,8π3 上的图象,
 
由图象可知,当t∈5π3,8π3时,sin t∈-32,1,
故-1≤-sin t≤32,因此-1≤f(x)=-sin2x-π3≤32.
故f(x)在区间π,3π2上的最大值和最小值分别为32,-1.
热点二 解三角形
高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.
【例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos Aa+cos Bb=sin Cc.
(1)证明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.
(1)证明 在△ABC中,根据正弦定理,
可设asin A=bsin B=csin C=k(k>0).
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
代入cos Aa+cos Bb=sin Cc中,
有cos Aksin A+cos Bksin B=sin Cksin C,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,
有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
(2)解 由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有
cos A=b2+c2-a22bc=35.
所以sin A=1-cos2A=45.
由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以45sin B=45cos B+35sin B,
故tan B=sin Bcos B=4.
【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时,往往先联想正弦定理;②出现含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理.
(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.
【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补,且AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求角C的大小和线段BD的长度;
(2)求四边形ABCD的面积.
解 (1)设BD=x,
在△ABD中,由余弦定理,得cos A=1+4-x22×2×1,
在△BCD中,由余弦定理,得cos C=9+4-x22×2×3,
∵A+C=π,∴cos A+cos C=0.
联立上式,解得x=7,cos C=12.
由于C∈(0,π).∴C=π3,BD=7.
(2)∵A+C=π,C=π3,∴sin A=sin C=32.
又四边形ABCD的面积SABCD=S△ABD+S△BCD
=12AB·ADsin A+12CB·CDsin C=32×(1+3)=23,
∴四边形ABCD的面积为23.
热点三 三角函数与平面向量结合
三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.
【例3】已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,求a+c的范围.
解 (1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n,
∴(2a+c)cos B+bcos C=0,
∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,
∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.
即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A.
∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-12.
∵0<B<π,∴B=2π3.
(2)由余弦定理得
b2=a2+c2-2accos23π=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-a+c22=34(a+c)2,当且仅当a=c时取等号.
∴(a+c)2≤4,故a+c≤2.
又a+c>b=3,∴a+c∈(3,2].即a+c的取值范围是(3,2].
【类题通法】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
【对点训练】 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点π12,3和点2π3,-2.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
解 (1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.
因为y=f(x)的图象过点π12,3和2π3,-2,
所以3=msinπ6+ncosπ6,-2=msin4π3+ncos4π3,
即3=12m+32n,-2=-32m-12n,解得m=3,n=1.
(2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+π6.
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin2x+2φ+π6.
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
由题意知x20+1=1,
所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得sin2φ+π6=1,
因为0<φ<π,所以φ=π6,
因此g(x)=2sin2x+π2=2cos 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z.
所以函数y=g(x)的单调递增区间为kπ-π2,kπ,k∈Z. 文章来源
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