2018年高考数学一轮复习圆、椭圆、抛物线的最值特色训练(浙江版带答案)

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2018年高考数学一轮复习圆、椭圆、抛物线的最值特色训练(浙江版带答案)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M 十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点
一、选择题
1.【2017年云南省第二次统一检测】已知 ,直线 与曲线 只有一个公共点 ,则 的取值范围为( )
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】直线化简为:  ,圆心 到直线的距离为  ,整理为:   ,即  ,整理为  ,设  ,所以  ,解得  或  (舍),即  ,解得:   ,故选C.
2.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点 ,  ( ),若曲线 上存在点 ,使得 ,则正实数 的取值范围为(   )
 A.      B.      C.      D. 
【答案】B
 3.设 ,若直线 与圆 相切,则 的取值范围是   (   )
A.      B. 
C.      D. 
【答案】D
 
点睛:与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点 有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如 型的最值问题,可转化为过点 和点 的直线的斜率的最值问题;②形如 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如 型的最值问题,可转化为动点到定点 的距离平方的最值问题.
4.【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线 上总存在点 ,使得过 点作的圆 :  的两条切线互相垂直,则实数 的取值范围是(     )
A.  或     B.      C.      D.  或
【答案】C
【解析】
 
如图,设切点分别为A,B.连接AC,BC,MC,由 及 知,四边形MACB为 正方形,故 若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直,只需圆心 到直线 的距离 ,即 ∴ ,故选C.
5.若方程 的任意一 组解 都满足不等式 ,则 的取值范围是(    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
 
6.【2017届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆 的左焦点为 ,上顶点为 ,右顶点为 ,若 的外接圆圆心 在直线 的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为 (   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】设 ,且 的外接圆的方程为 ,将 分别代入可得 ,由 可得 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,应选答案A.
7.【2017届山西省实验中学高三下模拟】已知圆 的方程为 ,过直线 :  ( )上的任意一点作圆 的切线,若切线长的最小值为 ,则直线 在 轴上的截距为(    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】如图,由 ,得圆心坐标为(3,4),
 
要使切线长最小,即圆心到直线l:   (a>0)的距离最小,
 
8.【2017届重庆市巴蜀中学高三三诊】设 是双曲线 的右顶点,  是右焦点,若抛物线 的准线 上存在一点 ,使 ,则双曲线的离心率的范围是(    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为 ,正好是双曲的右准线.由于AF=  ,所以AF弦,圆心 ,半径 圆上任取一点P,  ,现在转化为圆与准线相交问题.所以 ,解得 .填A.
9.【2017年湖南省考前演练卷三】中心为原点 的椭圆焦点在 轴上 ,  为该椭圆右顶点,  为椭圆上一点,  ,则该椭圆的离心率 的取值范围是 (    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
 10.【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线 的焦点为 ,点 为该抛物线上的动点,点 是抛物线的准线与坐标轴的交点,则 的最小值是(    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】
 
 解得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,
所以△=(2k2﹣4)2﹣4k4=0,解得k=±1,
所以∠NPA=45°,
 =cos∠NPA= .
故选B .
11.【2017届河北省石家庄市高三二模】已知动点 在椭圆 上,若点 的坐标为 ,点 满足 ,  ,则 的最小值是(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】
 
 
结合图形知,当  点为椭圆的右顶点时, 
取最小值   最小值是
故选:C.
12.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设 为坐标原点,  是以 为焦点的抛物线 ( )上任意一点,  是线段 上的点,且 ,则直线 的斜率的最大值为(   )
A.      B.      C.      D. 1
【答案】A
【解析】由题意可得 ,设 ,则 ,可得 .当且仅当 时取得等号,选A.
二、填空题
13.【2018届河南省中原名校(即豫南九 校)高三上第二次联考】直线 与抛物线 交于两不同点 , .其中 , ,若 ,则直线 恒过点的坐标是__________.
【答案】
【解析】设直线为 则 得 , ,
 直线为 ,恒过
故答案为 .
14.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联 考】已知椭圆的方程为 ,过椭圆中心的直线交椭圆于 两点,  是椭圆右焦点,则 的周长的最小值为__________,  的面积的最大值为__________.
【答案】  10   .
 
15.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆 与抛物线 相交于 两点,  为抛物线的焦点,若过点 且斜率为 的直线与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为 ,则 的值__________ ,若直线 与抛物线相交于 两点, 且与圆相切,切点 在劣弧 上,则 的取值范是__________.
【答案】     
【解析】如图所示,联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为: 
 
∵点F坐标为(0,1),∴kFB= ,∴kl>kFB,
所以直线l与圆交于P1、P3两点,与抛物线交于P2、P4两点,

把直线l方程:y=x+1代入x2=4y,得x2−4x−4=0,∴x2+x4=4;
把直线l方程:y=x+1代入x2+y2=12,得2x2+2x−11=0,∴x1+x 3=−1
∴ ,
 
∵直线m与该圆相切,∴ ,即 ,
又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1,
∴ ,
∵ ,∴分别过A. B的圆的切线的斜率为 .
∴k∈[ ] ,∴0⩽k2⩽2,∴ ,
∵b>0,∴b∈[ ]
所以|MF|+|NF|的取值范围为 .
16.【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】如图,两个椭圆 ,  内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,给出下列四个判断:
 
    ①P到F1(-4,0)、F2(4,0)、E1(0,-4)、E2(0,4)四点的距离之和为定值;
    ②曲线C关于直线y=x、y=-x均对称;③曲线C所围区域面积必小于36.
    ④曲线C总长度不大于6π.上述判断中正确命题的序号为________________.
【答案】②③
 故答案为:②③.
三、解答题
17.【2018届南宁市高三摸底】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 .
(l)求抛物线 的方程;
(2)抛物线上一点 的纵坐标为1,过点 的直线与抛物线 交于 两个不同的点(均与点 不重合),设直线 的斜率分别为 ,求证: 为定值.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程,两个未知数,可求得抛物线方程。(2)由(1)知抛物线的方程 ,及 , ,设过点 的直线 的方程为 ,代入 得 ,由韦达定理可求得 为定值上。
试题解析:(1)由抛物线的定义可知 ,则 ,
由点 在抛物线上,则 ,
∴ ,则 ,
由 ,则 ,
∴抛物线的方程 .
 
18.【2018届广西柳州市高三上摸底】已知抛物线 的顶点在原点,焦点在 轴上,且抛物线上有一点 到焦点的距离为5.
(1)求该抛物线 的方程;
(2)已知抛物线上一点 ,过点 作抛物线的两条弦 和 ,且 ,判断直线 是否过定点?并说明理由.
【答案】(1) .(2)
【解析】试题分析:(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;
(2)由(1 )求出M的坐标,设出直线DE的方程  ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用  得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.
试题解析:
(1)由题意 设抛物线方程为 ,
其准线方程为 ,
∵ 到焦点的距离等于 到其准线的距离,   
∴ ,∴ .
∴抛物线 的方程为 .
 

 
 
 
 
即 ,得:  ,
∴ ,即 或 ,
代人①式检验均满足 ,
∴直线 的方程为:  或 .
∴直线过定点 (定点 不满足题意,故舍去).
19.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知动点 满足:  .
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)设过点 的直线 与曲线 交于 两点,点 关于 轴的对称点为 (点 与点 不重合),证明:直线 恒过定点,并求该定点的坐标.
【答案】(1) ;(2)直线过定点  ,证明见解析.
 试题解析:(1)由已知,动点 到点 ,  的距离之和为 ,
且 ,所以动点 的轨迹为椭圆,而 ,  ,所以 ,
所以,动点 的轨迹 的方程:  .                      
(2)设 ,  ,则 ,由已知得直线 的斜率存在,设斜率为 ,则直线 的方程为: 
由  得 ,
所以 ,  ,                        
直线 的方程为:  ,所以 ,
令 ,则 ,
所以直线 与 轴交于定点 .         
20.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知椭圆 经过点 , 的四个顶点构成的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2) 为椭圆上的两个动点,是否存在这样的直线 ,使其满足:①直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数;②线段 的中点在直线 上.若存在,求出直线 和 的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)  ;(2) 直线 的方程分别为 , 或 , .
 试题解析:
(1)由已知得 ,
解得 ,
∴椭圆 的方程 .
(2)设直线 的方程为 ,代入 ,得
 .(*)
设 , ,且 是方程(*)的根 ,
∴ ,
用 代替上式中的 ,可得 ,
故 中点横坐标为 ,
解得 ,
∴直线 的方程分别为 , 或 , .
21.【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知椭圆   的离心率为 ,过点 的椭圆 的两条切线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)在椭圆 上是否存在这样的点 ,过点 引抛物线 的两条切线 ,切点分别为 ,且直线 过点 ?若存在,指出这样的点 有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)满足条件的点 有两个.
 
试题解析:
(Ⅰ)由椭圆的对称性,不妨设在 轴上方的切点为 , 轴下方的切点为 ,
则 , 的直线方程为 ,
因为椭圆   的离心率为 ,
所以椭圆 ,
所以   ,则 ,
所以椭圆方程为 .
(Ⅱ)设点 , , ,
由 ,即 ,得 ,
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ,
即 ,
∵ ,∴ .
∵点 在切线 上,∴ .①
同理, .②
综合①、②得,点 , 的坐标都满足方程 .
∵经过 , 两点的直线是唯一的,
∴直线 的方程为 ,
∵点 在直线 上,∴ ,
∴点 的轨迹方程为 .
又∵点 在椭圆 上,又在直线 上,
∴直线 经过椭圆 内一点 ,
∴直线 与椭圆 交于两点.
∴满足条件的点 有两个.
22.【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C:  的长轴是短轴的两倍,点 在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为 、 、 ,且 、 、 恰好构成等比数列,记△ 的面积为S.
(1)求椭圆C的方程.
(2)试判断 是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由?
(3)求S的范围.
【答案】(1)  (2)5(3)
  设直线 的方程为 ,代入椭圆方程,消去  ,根据 、 、 恰好构成等比数列,求出 ,进而表示出 ,即可得出结论。
 表示出 的面积,利用基本不等式,即可求出 的范围。
 
(2)依题意,直线 斜率存在且 ,设直线 的方程为 ( ), 、
由   
 ,因为 、 、 恰好构成等比数列,
所以   ,
即      ;
所以         
此时       
得 ,且 (否则: ,则 , 中至少有一个为 , 直线 、 中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾)   
所以 ;
所以        
所以 是定值为5;      
(3)       ( ,且 )
所以  . 文章
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