(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色训练(附答案)

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(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色训练(附答案)

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm 七、数列中不等式证明
一、解答题
1.【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列 满足 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明: .
【答案】(1) ;(2)证明过程见解析
 (2)本问主要通过不等式的放缩来对数列求和,根据 得 ,所以 .
试题解析:(1)∵ .
∴ ,∴ 是以 为首项,2为公比的等比数列.
∴ ,即 .
(2)证明:∵ , ,
∴ .
2.【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列 满足 ,  .
( )求 的通项公式.
( )设等比数列 满足 ,  ,问:  与数列 的第几项相等?
( )试比较 与 的大小,并说明理由.
【答案】( )   ( ) ( )
 试题解析:
( )∵ 是等差数列,
 ,
∴解出 ,  ,

 ,
 .
( )∵ ,
 ,
 是等比数列,
 ,

 ,
 .
又∵ ,
∴ ,
∴ 与数列 的第 项相等.
( )猜想 ,即 ,即 ,
用数学归纳法证明如下:
①当 时,  ,显然成立,
②假设当 时,  成立,即 成立;
则当 时, 
 ,
 成立,
由①②得,猜想成立.
∴ .
3.【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列 满足 ,设 .
(I)求证:数列 为等比数列,并求 的通项公式;
(II)设 ,数列 的前 项和 ,求证:  .
【答案】(I) ;(II)证明见解析.
 试题解析:(I)由已知易得 ,由
得 即 ;                             
 ,
又 ,
 是以 为首项,以 为公比的等比数列.            
从而
即 ,整理得
即数列 的通项公式为 .                           
 
4.【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列 的公差为2,且 ,  ,  成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和为 ,求证:  .
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)利用等差数列及等比中项的概念建立关系式,进一步求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论,使用乘公比错位相减法求出数列的和,进一步利用放缩法求得结.
试题解析:(1)数列 为等差数列,所以:  ,  ,  ,因为 ,  成等比数列,所以:  ,解得:  ,所以:  .
(2)已知 ,  ① ②,①-②得:      ,所以:
 ,由于 ,所以:  ,  .
5.【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列 中,  ,其前 项的和为 ,且满足 .
(Ⅰ) 求证:数列 是等差数列;
(Ⅱ) 证明:  
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
 试题解析:(Ⅰ)当 时,  ,  ,  ,
从而 构成以4为首项,2为公差的等差数列. 
(Ⅱ)由(1)可知,    .
 
 .
6.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列 满足: , ( ).
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和为 ,求证: .
【答案】(1) (2)见解析
 试题解析:(Ⅰ)解: ,
所以 是以2为公差的等差数列, ,
所以 ,
所以数列 的通项公式为 .          
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 ,
 .
7.【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列 满足 ,  的前 项和为 .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)设 ,  为数列 的前 项和,求证:  .
【答案】(1)  (2)略
 解:(Ⅰ)设等差数列 的首项为 ,公差为 ,因为 ,
所以有 ,解得 ,
所以 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
所以 
   .
8.【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列 的前 项和 满足:  .
(1)数列 的通项公式;
(2)设 ,且数列 的前 项和为 ,求证:  .
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据当 时,  ,得到数列 的递推关系式 ,再根据等比数列定义及通项公式求数列 的通项公式;(2)将数列 的通项公式代入 化简得 ,再根据大小关系放缩为 ,最后利用裂项相消法求和得 .
          
(Ⅱ)证明:  . 
由 ,                    
所以 ,               
所以 . 
因为 ,所以 ,即 .
9.【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列 的前 项和 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求证: .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用已知条件,推出新数列是等比数列,然后求数列 的通项公式 ;(Ⅱ)化简   ,则 ,利用裂项相消法和,再根据放缩法即可证明结果.
试题解析:(Ⅰ)由 ,则   .
当 时, ,综上 .           
(Ⅱ)由 .
    
 . 得证.
10.【2018届湖北省黄石市第三中学(稳派教育)高三检测】已知 ,  分别为等差数列和等比数列,  ,  的前 项和为 .函数 的导函数是 ,有 ,且 是函数 的零点.
(1)求 的值;
(2)若数列 公差为 ,且点 ,当 时所有点都在指数函数 的图象上.
请你求出 解析式,并证明:  .
【答案】(1) , (2)见解析
 试题解析:(1)由 得 ,又 ,所以
∴ .
∵ 的零点为 ,而 是 的零点,又 是等比数列的首项,所以 ,  ,
∴ .
(2)∵ ,
令 的公比为 ,则 .
又 都在指数函数 的图象上,即 ,即 当 时恒成立,
解得 .所以 .
∵ ,
因为 ,所以当 时,  有最小值为 ,所以 .
11.【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列 满足 ,则 ,且 , , , 成等比数列.
(Ⅰ)设 ,求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求证: … .
【答案】(Ⅰ)   .(Ⅱ)见解析.
 试卷解析:
(Ⅰ)由 及 , , , 成等比数列得 ,
即 ,解得 , ,
又 ,所以 ,
     ,
所以数列 是首项为3,公差为2的等差数列,
所以   .
(Ⅱ)因为    
 .
所以    
 .
12.【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列 满足:  ,  . 为数列 的前 项和.
(Ⅰ)求证:对任意正整数 ,有 ;
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ,求证:对任意 ,总存在正整数 ,使得 时,  .
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
 试题解析:
(Ⅰ)证法一:因为 ,
∴ 时,    ,
∴   ,即 ,
当 时,  ,综上,  .
证法二:考虑到数列 的前 项和为 ,猜想 ,
当 时,结论显然成立.假设 时,  成立,
则当 时,由 ,得
    
 ,结论成立.
综上:对任意 ,有 ,
以下同解法一.
 
从而   ,
当 时,  ,  ,
所以   ,

设 为不小于 的最小整数,取  (即 ),
当 时,  .
13.【2016高考浙江理数】设数列 满足 , .
(I)证明: , ;
(II)若 , ,证明: , .
【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析.
【解析】
 
试题解析:(I)由 得 ,故
 , ,
所以
 
 
 ,
因此
 .
(II)任取 ,由(I)知,对于任意 ,
 
 
 ,

 
 
 .
从而对于任意 ,均有
 .
由 的任意性得 .             ①
否则,存在 ,有 ,取正整数 且 ,则
 ,
与①式矛盾.
综上,对于任意 ,均有 .
14.【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列 中, , ,其中 , .
( )当 时,求 , , 的值.
( )是否存在实物 ,使 , , 构成公差不为 的等差数列?证明你的结论.
( )当 时,证明:存在 ,使得 .
【答案】( ) , , .( )存在 ,使 , , 构成公差不为 的等差数列.( )证明见解析.
 
( )∵ , , 成等差数列,∴ ,
即 ,∴ ,
∴ ,∴ .
将 , ,代入上式,解得 .
经检验,此时 , , 的公差不为 .
∴存在 ,使 , , 构成公差不为 的等差数列.
( )∵ ,
又 ,∴令 .
∵ , , , ,
∴ ,即 .
取正整数 ,则:
 .
故当 时,存在 ,使得 .
15.【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列 的前 项和为 ,且满足 ,  为常数.
(1)是否存在数列 ,使得 ?若存在,写出一个满足要求的数列;若不存在,说明理由.
(2)当 时,求证:  .
(3)当 时,求证:当 时,  .
【答案】(1)不存在,理由见解析   (2)证明见解析   (3)证明见解析
【解析】试题分析:
 
试题解析:
(1)若 ,则 ,即 ,即 ,
则 ,所以不存在数列 使得 .   
(2)由 得 ,
当 时,  ,两式相减得 ,
即 ,  ,  ,  ,
当 时,  ,即 ,综上,  .
(3)证1:由 得 ,
当 时,  ,两式相减得 ,
 
另一方面,  ,故 .
证2:由 得 ,  ,
所以当 时,  ,下同证1.
16.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列 满足 , ,求证:
(I) ;
(II) ;
(III) .
【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.
【解析】试题分析:(1)利用数学归纳法证明;(2)作差法比较大小;(3) 因为 ,所以 .
从而 . 即 ,所以
又 ,故 .
试题解析:
(I)(数学归纳法)
 当 时,因为 ,所以 成立.
假设当 时, 成立,
则当 时, .
因为 ,
且 得
所以 也成立.
 
(III)因为 ,所以 .
从而 .
所以 ,即 .
所以 .
又 ,故 .
17.【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列 中, , ( ). 
(1)求证: ;
(2)求证: 是等差数列;
(3)设 ,记数列 的前 项和为 ,求证:     .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
 试题解析:(1)证明:当 时, ,满足 ,
假设当 ( )时, ,则当 时,   ,
即 时,满足 ;
所以,当 时,都有 .
(2)由 ,得 ,
所以 ,
即 ,
即 ,
所以,数列 是等差数列.
(3)由(2)知, ,
∴ ,
因此 ,
当 时, ,
即 时, ,
所以 时, ,
显然 ,只需证明 , 即可.
当 时,       .
18.【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数 的图象恒过定点 ,且点 又在函数 的图象上.
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)当方程 有两个不等实根时,求 的取值范围;
(Ⅲ)设 ,  ,  ,求证,  ,  .
【答案】(1)  ;(2)  的取值范围为 ;(3)见解析.
 
又因为 点在 上,则
即  ,∴ 
(Ⅱ)  即 ,∴
由图像可知:  ,故 的取值范围为 .
(Ⅲ) ,   
∴   ,  .
19.【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列 满足 ,  ,数列 的前 项和为 ,证明:当 时,
(1) ;
(2) ;
(3) .
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
 法求和得结论
试题解析:证明:(1)由于 ,则 .
若 ,则 ,与 矛盾,从而 ,
 ,
又 ,  与 同号,
又 ,则 ,即 .
 
从而
当 时,  ,从而 .
(3) ,
叠加:    .
20.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列 中,  ,  .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项的和为 ,试求数列 的最小值;
(3)求证:当 时,  .
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】试题分析:(1)构造新数列 ,则由已知化简可得新数列为首项为2,公比为2的等比数列,即得 (2) ,  ,利用相邻两项的差得数列 为单调递增数列,所以最小值为第一项(3)利用(2)中数列分解 .
试题解析:解:(1)由条件 得 ,又 ,所以 ,因此数列 构成首项为2,公比为2的等比数列,从而 ,因此,  .
 
(3)当 时, 
 ,由(2)知 ,又 ,  ,
所以 .
21.【2017年浙江卷】已知数列 满足: 
证明:当 时
(I) ;
(II) ;
(III) 
【答案】(I)见解析;(II)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)用数学归纳法可证明;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 , 构造函数 ,利用函数的单调性可证; (Ⅲ)由 及 ,递推可得
试题解析:(Ⅰ)用数学归纳法证明:  .
当n=1时,x1=1>0.
假设n=k时,xk>0,
那么n=k+1时,若 ,则 ,矛盾,故 .
因此 .
所以 ,
因此 .
 
(Ⅲ)因为 ,
所以 ,
由 ,得 ,
所以 ,
故 .
综上,  .
22.【2017年北京卷】设 和 是两个等差数列,记   ,
其中 表示 这 个数中最大的数.
(Ⅰ)若 ,  ,求 的值,并证明 是等差数列;
(Ⅱ)证明:或者对任意正数 ,存在正整数 ,当 时,  ;或者存在正整数 ,使得 是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)见解析
 试题解析:(Ⅰ) 
 ,
 .
当 时,  ,
所以 关于 单调递减.
所以 .
所以对任意 ,于是 ,
所以 是等差数列.
(Ⅱ)设数列 和 的公差分别为 ,则
 .
所以 
①当 时,取正整数 ,则当 时,  ,因此 .
此时,  是等差数列.
 
③当 时,
当 时,有 .
所以
 
对任意正数 ,取正整数 ,
故当 时,  . 文章来
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