(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色训练（附答案）

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七、数列中不等式证明
一、解答题
1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1） ；(2)证明过程见解析
 （2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据 得 ，所以 .
试题解析：（1）∵ .
∴ ，∴ 是以 为首项，2为公比的等比数列.
∴ ，即 .
(2)证明：∵ ， ，
∴ .
2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列 满足 ，  ．
（ ）求 的通项公式．
（ ）设等比数列 满足 ，  ，问：  与数列 的第几项相等？
（ ）试比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（ ）   （ ） （ ）
 试题解析：
（ ）∵ 是等差数列，
 ，
∴解出 ，  ，
∴
 ，
 ．
（ ）∵ ，
 ，
 是等比数列，
 ，
∴
 ，
 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ 与数列 的第 项相等．
（ ）猜想 ，即 ，即 ，
用数学归纳法证明如下：
①当 时，  ，显然成立，
②假设当 时，  成立，即 成立；
则当 时， 
 ，
 成立，
由①②得，猜想成立．
∴ ．
3．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列 满足 ，设 .
（I）求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
（II）设 ，数列 的前 项和 ，求证：  .
【答案】（I） ；（II）证明见解析.
 试题解析：（I）由已知易得 ，由
得 即 ；                             
 ,
又 ,
 是以 为首项，以 为公比的等比数列.            
从而
即 ，整理得
即数列 的通项公式为 .                           
 
4．【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列 的公差为2，且 ，  ，  成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证：  ．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.
试题解析：（1）数列 为等差数列，所以：  ，  ，  ，因为 ，  成等比数列，所以：  ，解得：  ，所以：  .
（2）已知 ，  ① ②，①-②得：      ，所以：
 ，由于 ，所以：  ，  .
5．【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列 中，  ，其前 项的和为 ，且满足 .
(Ⅰ) 求证：数列 是等差数列；
(Ⅱ) 证明：  
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
 试题解析：（Ⅰ）当 时，  ,  ，  ，
从而 构成以4为首项，2为公差的等差数列. 
（Ⅱ）由（1）可知，    .
 
 .
6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列 满足： ， （ ）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1） （2）见解析
 试题解析：（Ⅰ）解： ，
所以 是以2为公差的等差数列， ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为 .          
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 ，
 .
7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列 满足 ，  的前 项和为 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 ，  为数列 的前 项和，求证：  .
【答案】（1）  （2）略
 解：（Ⅰ）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ，
所以有 ，解得 ，
所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
所以 
   .
8．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列 的前 项和 满足：  .
（1）数列 的通项公式；
（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证：  .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据当 时，  ，得到数列 的递推关系式 ，再根据等比数列定义及通项公式求数列 的通项公式；（2）将数列 的通项公式代入 化简得 ,再根据大小关系放缩为 ，最后利用裂项相消法求和得 ．
          
（Ⅱ）证明：  ． 
由 ，                    
所以 ，               
所以 ． 
因为 ，所以 ，即 ．
9．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列 的前 项和 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列 的通项公式 ；（Ⅱ）化简   ，则 ，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.
试题解析：(Ⅰ)由 ，则   .
当 时， ，综上 .           
（Ⅱ）由 .
    
 . 得证.
10．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知 ，  分别为等差数列和等比数列，  ，  的前 项和为 .函数 的导函数是 ，有 ，且 是函数 的零点.
（1）求 的值；
（2）若数列 公差为 ，且点 ，当 时所有点都在指数函数 的图象上.
请你求出 解析式，并证明：  .
【答案】（1） , （2）见解析
 试题解析：（1）由 得 ，又 ，所以
∴ .
∵ 的零点为 ，而 是 的零点，又 是等比数列的首项，所以 ，  ，
∴ .
（2）∵ ，
令 的公比为 ，则 .
又 都在指数函数 的图象上，即 ，即 当 时恒成立，
解得 .所以 .
∵ ，
因为 ，所以当 时，  有最小值为 ，所以 .
11．【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列 满足 ，则 ，且 ， ， ， 成等比数列.
（Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求证： … .
【答案】（Ⅰ）   .（Ⅱ）见解析.
 试卷解析：
（Ⅰ）由 及 ， ， ， 成等比数列得 ，
即 ，解得 ， ，
又 ，所以 ，
     ，
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以   .
（Ⅱ）因为    
 .
所以    
 .
12．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列 满足：  ，  . 为数列 的前 项和.
（Ⅰ）求证：对任意正整数 ，有 ；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意 ，总存在正整数 ，使得 时，  .
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.
 试题解析：
（Ⅰ）证法一：因为 ，
∴ 时，    ，
∴   ，即 ，
当 时，  ，综上，  .
证法二：考虑到数列 的前 项和为 ，猜想 ，
当 时，结论显然成立.假设 时，  成立，
则当 时，由 ，得
    
 ，结论成立.
综上：对任意 ，有 ，
以下同解法一.
 
从而   ，
当 时，  ，  ，
所以   ，
令
设 为不小于 的最小整数，取  (即 )，
当 时，  .
13．【2016高考浙江理数】设数列 满足 ， ．
（I）证明： ， ；
（II）若 ， ，证明： ， ．
【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．
【解析】
 
试题解析：（I）由 得 ，故
 ， ，
所以
 
 
 ，
因此
 ．
（II）任取 ，由（I）知，对于任意 ，
 
 
 ，
故
 
 
 ．
从而对于任意 ，均有
 ．
由 的任意性得 ．             ①
否则，存在 ，有 ，取正整数 且 ，则
 ，
与①式矛盾．
综上，对于任意 ，均有 ．
14．【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列 中， ， ，其中 ， ．
（ ）当 时，求 ， ， 的值．
（ ）是否存在实物 ，使 ， ， 构成公差不为 的等差数列？证明你的结论．
（ ）当 时，证明：存在 ，使得 ．
【答案】（ ） ， ， ．（ ）存在 ，使 ， ， 构成公差不为 的等差数列．（ ）证明见解析.
 
（ ）∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
将 ， ，代入上式，解得 ．
经检验，此时 ， ， 的公差不为 ．
∴存在 ，使 ， ， 构成公差不为 的等差数列．
（ ）∵ ，
又 ，∴令 ．
∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ．
取正整数 ，则：
 ．
故当 时，存在 ,使得 ．
15．【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列 的前 项和为 ，且满足 ，  为常数．
（1）是否存在数列 ，使得 ？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．
（2）当 时，求证：  ．
（3）当 时，求证：当 时，  ．
【答案】（1）不存在，理由见解析   （2）证明见解析   （3）证明见解析
【解析】试题分析：
 
试题解析：
（1）若 ，则 ，即 ，即 ，
则 ，所以不存在数列 使得 ．   
（2）由 得 ，
当 时，  ，两式相减得 ，
即 ，  ，  ，  ，
当 时，  ，即 ，综上，  ．
（3）证1：由 得 ，
当 时，  ，两式相减得 ，
 
另一方面，  ，故 ．
证2：由 得 ，  ，
所以当 时，  ，下同证1.
16．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列 满足 ， ，求证：
（I） ；
（II） ；
（III） .
【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.
【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法证明；（2）作差法比较大小；(3) 因为 ，所以 .
从而 . 即 ，所以
又 ，故 .
试题解析：
（I）（数学归纳法）
 当 时，因为 ，所以 成立.
假设当 时， 成立,
则当 时， .
因为 ，
且 得
所以 也成立.
 
（III）因为 ，所以 .
从而 .
所以 ，即 .
所以 .
又 ，故 .
17．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列 中， ， （ ）．　
（1）求证： ；
（2）求证： 是等差数列；
（3）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证：     ．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
 试题解析：（1）证明：当 时， ，满足 ，
假设当 （ ）时， ，则当 时，   ，
即 时，满足 ；
所以，当 时，都有 ．
（2）由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以，数列 是等差数列．
（3）由（2）知， ，
∴ ，
因此 ，
当 时， ，
即 时， ，
所以 时， ，
显然 ，只需证明 ， 即可．
当 时，       ．
18．【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数 的图象恒过定点 ，且点 又在函数 的图象上．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）当方程 有两个不等实根时，求 的取值范围；
（Ⅲ）设 ，  ，  ，求证，  ，  ．
【答案】(1)  ；(2)  的取值范围为 ；（3）见解析．
 
又因为 点在 上，则
即  ，∴ 
（Ⅱ）  即 ，∴
由图像可知：  ，故 的取值范围为 ．
（Ⅲ） ，   
∴   ，  ．
19．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列 满足 ，  ，数列 的前 项和为 ，证明：当 时，
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
 法求和得结论
试题解析：证明：（1）由于 ，则 .
若 ，则 ，与 矛盾，从而 ，
 ，
又 ，  与 同号，
又 ，则 ，即 .
 
从而
当 时，  ，从而 .
（3） ，
叠加：    .
20．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列 中，  ，  .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项的和为 ，试求数列 的最小值；
（3）求证：当 时，  .
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】试题分析：（1）构造新数列 ，则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为2的等比数列，即得 （2） ，  ，利用相邻两项的差得数列 为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解 ．
试题解析：解：（1）由条件 得 ，又 ，所以 ，因此数列 构成首项为2，公比为2的等比数列，从而 ，因此，  ．
 
（3）当 时， 
 ，由（2）知 ，又 ，  ，
所以 ．
21．【2017年浙江卷】已知数列 满足： 
证明：当 时
（I） ;
（II） ；
(III) 
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 构造函数 ，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由 及 ，递推可得
试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：  ．
当n=1时，x1=1>0．
假设n=k时，xk>0，
那么n=k+1时，若 ，则 ，矛盾，故 ．
因此 ．
所以 ，
因此 ．
 
（Ⅲ）因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
故 ．
综上，  ．
22．【2017年北京卷】设 和 是两个等差数列，记   ，
其中 表示 这 个数中最大的数．
（Ⅰ）若 ，  ，求 的值，并证明 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时，  ；或者存在正整数 ，使得 是等差数列．
【答案】（1）见解析（2）见解析
 试题解析：（Ⅰ） 
 ，
 .
当 时，  ，
所以 关于 单调递减.
所以 .
所以对任意 ，于是 ，
所以 是等差数列.
（Ⅱ）设数列 和 的公差分别为 ，则
 .
所以 
①当 时，取正整数 ，则当 时，  ，因此 .
此时，  是等差数列.
 
③当 时，
当 时，有 .
所以
 
对任意正数 ，取正整数 ，
故当 时，  . 文 章
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