2017届高三下学期数学教学质量调研考试(二模)试卷(上海市嘉定区有答案)

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2017届高三下学期数学教学质量调研考试(二模)试卷(上海市嘉定区有答案)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M

2016-2017学年度嘉定区高三年级第二次质量调研
数 学 试 卷 2017.04

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.函数 的最小正周期是________________.
2.设 为虚数单位,复数 ,则 ____________.
3.设 为 的反函数,则 _____________.
4. _______________.
5.若圆锥的侧面积是底面积的 倍,则其母线与轴所成角的大小是______________.
6.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ___________.
7.直线 ( 为参数)与曲线 ( 为参数)的公共点的个数
是______________.
8 .已知双曲线 与双曲线 的焦点重合, 的方程为 ,若 的一条渐近线
的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍,则 的方程为__________________.
9.若 ,则满足 的 的取值范围是_______________.
10.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲
组研发新产品 ,乙组研发新产品 ,设甲、乙两组的研发相互独立 ,则至少有一种
新产品研发成功的概率为______________.
11.设等差数列 的各项都是正数,前 项和为 ,公差为 .若数列 也是公差
为 的等差数列,则 的通项公式为 _____________.
12.设 ,用 表示不超过 的最大整数(如 , ),对于给定
的 ,定义 ,其中 ,则当 时,
函数 的值域是____________________.

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 每题有且只有一个正确选项.考
生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.命题“若 ,则 ”的逆否命题是………………………………(    ).
(A)若 ,则         (B)若 ,则
(C)若 ,则         (D)若 ,则
14.如图,在正方体 中, 、 是
 的三等分点, 、 是 的三等分点, 、
 分别是 、 的中点,则四棱锥
的左视图是…………………………………………(    ).
 
        (A)           (B)                  (C)            (D)

15.已知△ 是边长为 的等边三角形, 、 是△ 内部两点,且满足
 , ,则△ 的面积为…………………(    ).
    (A)         (B)         (C)         (D)
16.已知 是偶函数,且 在 上是增函数,若 在
 上恒成立,则实数 的取值范围是……………………………………(    ).
    (A)        (B)         (C)         (D)

三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤.

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在△ 中,内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,已知 , , .
(1)求△ 的面积 ;
(2)求 的值.


18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
如图,在长方体 中, , , ,平面 截长方体得到一个矩形 ,且 , .
(1)求截面 把该长方体分成的两部分体积之比;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.


19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
如图,已知椭圆 : ( )过点 ,两个焦点为 和 .圆 的方程为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)过 且斜率为 ( )的动直线 与椭圆 交于 、 两点,与圆 交于 、 两点(点 、 在 轴上方),当 , , 成等差数列时,求弦 的长.


20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
如果函数 的定义域为 ,且存在实常数 ,使得对于定义域内任意 ,都有 成立,则称此函数 具有“ 性质”.
(1)判断函数 是否具有“ 性质”,若具有“ 性质”,求出所有 的值的集合;若不具有“ 性质”,请说明理由;
(2)已知函数 具有“ 性质”,且当 时, ,求函数 在区间 上的值域;
(3)已知函数 既具有“ 性质”,又具有“ 性质”,且当 时, ,若函数 的图像与直线 有 个公共点,求实数 的值.

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
给定数列 ,若满足 ( 且 ),对于任意的 ,都有 ,则称数列 为指数数列.
(1)已知数列 , 的通项公式分别为 , ,试判断 , 是不是指数数列(需说明理由);
(2)若数列 满足: , , ,证明: 是指数数列;
(3)若数列 是指数数列, ( ),证明:数列 中任意三项都不能构成等差数列.
 


2016-2017学年度嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷参考答案与评分标准

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.         2.         3.         4.         5.         6.
7.    8.   9.     10.     11.    12.

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.D          14.C         15.A          16.B

三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
(1)因为 ,所以由正弦定理得 ,   ……………………(1分)
又 ,故 , ,    ……………………………………………(3分)
所以 ,因为 ,所以 .………(5分)
所以 .………………………………(6分)
(2)因为 , ,
所以 , ,……………(4分)
 ,因为 ,所以 为锐角,所以 (或由 得到 , ).………………………………(5分)
所以, .  ………………………(8分)

18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
(1)由题意,平面 把长方体分成两个高为 的直四棱柱,
 ,  ………………(2分)
 ,  …………………(4分)
所以, .………………………………………………………………(6分)


(2)解法一:
作 ,垂足为 ,由题意, 平面 ,故 ,
所以 平面 .   ………………………………………………………………(2分)
因为 , ,所以 ,)
因为 ,所以 .    ……………………………………………………(4分)
又 , ……………………………………………(6分)
设直线 与平面 所成角为 ,则 .………………………(7分)
所以,直线 与平面 所成角的正弦值为 .           …………………(8分)
解法二:
以 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,则
 , , , ,   ………………………(2分)
故 , ,         …………………………………(3分)
设平面 一个法向量为 ,则 即
所以可取 .    ……………………………………………………………(5分)
设直线 与平面 所成角为 ,则 . ……………………(7分)
所以,直线 与平面 所成角的正弦值为 .   ………………………………(8分)

19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
(1)由题意, ,  ………………………………………………………………(1分)
设椭圆 的方程为 ,将点 代入,
 ,解得 ( 舍去),  ………………………………(3分)
所以,椭圆 的方程为 .  ………………………………………………(4分)
(2)由椭圆定义, , ,两式相加,得
 ,因为 , , 成等差数列,所以
 ,于是 ,即 .   …………………(3分)
设 ,由 解得 ,…………………(5分)
(或设 ,则 ,解得 , ,所以 ).
所以, ,直线 的方程为 ,即 ,……(6分)
圆 的方程为 ,圆心 到直线 的距离 ,   ………………(7分)
此时,弦 的长 . …………………………………………(8分)

20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
(1)由题意, ,
即 对于任意实数 成立, …………………………………………(1分)
由诱导公式 ,函数 具有“ 性质”,且所有 的值的集合为 .   ……………………………………………………………(4分)
(2)因为函数 具有“ 性质”,所以 ,
即 是偶函数.   ………………………………………………………………(1分)
所以当 时, , . ……………(2分)
当 时,函数 在 上递增,值域为 . ……………(3分)
当 时,函数 在 上递减,在 上递增, , ,值域为 .     …………………………………(4分)
同理,当 时, , ,值域为 .…(5分)
当 时,函数 在 上递减,值域为 .  ……………(6分)
(3)由题意 ,函数 偶函数,又 ,
所以函数 是以 为周期的函数.   …………………………………………(1分)
因为当 时, ,所以当 时, , ,   …………………………………………………………(2分)
一般地,当 ( )时, . …………………(3分)
作出函数 的图像,可知,当 时,函数 与直线 交于点 ( ),即有无数个交点,不合题意.  …………………………………(4分)
当 时,在区间 上,函数 有 个周期,要使函数 的图像与直线 有 个交点,则直线在每个周期内都有 个交点,且第 个交点恰好为 ,所以 .
同理,当 时, .
综上, .              ……………………………………………………(6分)
                        ( 的值漏掉一个扣 分)


21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
(1)对于数列 , , , ,因为 ,所以 不是指数数列.   ………………………………………………………………………………(2分)
对于数列 ,对任意 ,因为 ,所以 是指数数列.  ……………………………………………………………………………………(4分)
(2) 由题意, ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.  ……………………………………………………………………(2分)
所以 .所以,
 
 ,即 的通项公式为 ( ).  ………………(5分)
所以 ,故 是指数数列. …………………………(6分)
(3)因为数列 是指数数列,故对于任意的 ,有 ,令 ,则 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以, .  …………………………………………………………………………(2分)
假设数列 中存在三项 , , 构成等差数列,不妨设 ,
则由 ,得 ,
所以 ,   ………………………………(3分)
当 为偶数时, 是偶数,而 是偶数, 是奇数,
故 不能成立; …………………………(5分)
当 为奇数时, 是偶数,而 是奇数, 是偶数,
故 也不能成立.…………………………(7分)
所以,对任意 , 不能成立,即数列 的任意三项都不成构成等差数列.   ……………………………………………………(8分)

(另证:因为对任意 , 一定是偶数,而 与 为一奇一偶,故 与 也为一奇一偶,故等式右边一定是奇数,等式不能成立.)
 

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