2017年高考数学二模试卷(邵阳市理科带答案和解释)

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2017年高考数学二模试卷(邵阳市理科带答案和解释)

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源莲山 课件 w w
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2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(理科)
 
一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|y=lg(x2+4x﹣12)},B={x|﹣3<x<4},则A∩B等于(  )
A.(﹣3,﹣2) B.(﹣3,2) C.(2,4) D.(﹣2,4)
2.复数z= 的实部为(  )
A.﹣2 B.﹣1 C.1、 D.0
3.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:
 Y
X  y1  y2  总计
 x1  a  10  a+10
 x2  c  30  c+30
 总计  60  40  100
对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(  )
A.a=45,c=15 B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=30
4.已知函数f(x)=cos(ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(  )
A.可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移 个单位而得
B.可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移 个单位而得
C.可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移 个单位而得
D.可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移 个单位而得
5.执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为(  )
 
A.10 B.15 C.18 D.21
6.在△ABC中,A=30°,AB=3,AC=2 ,且 +2 =0,则 • 等于(  )
A.18 B.9 C.﹣8 D.﹣6
7.若实数x,y满足不等式组 且3(x﹣a)+2(y+1)的最大值为5,则a等于(  )
A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1
8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )
 
A.6 B.9 C.12 D.18
9.若tan cos =sin ﹣msin ,则实数m的值为(  )
A.2  B.  C.2 D.3
10.已知f(x)= 在区间(0,4)内任取一个为x,则不等式log2x﹣(log 4x﹣1)f(log3x+1)≤ 的概率为(  )
A.  B.  C.  D.
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2 )(x0> )是抛物线C上一点.圆M与线段MF相交于点A,且被直线x= 截得的弦长为 |MA|.若 =2,则|AF|等于(  )
A.  B.1 C.2 D.3
12.已知函数f(x)=aex﹣2x﹣2a,且a∈[1,2],设函数f(x)在区间[0,ln2]上的最小值为m,则m的取值范围是(  )
A.[﹣2,﹣2ln2] B.[﹣2,﹣ ] C.[﹣2ln2,﹣1] D.[﹣1,﹣ ]
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(x+3)(1﹣ )5的展开式中常数项为  .
14.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右端点分别为A、B两点,点C(0,  b),若线段AC的垂直平分线过点B,则双曲线的离心率为  .
15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为 .若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为  .
16.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为 的正方形,AA1=3,E是AA1的中点,过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则CF与平面ABCD所成角的正切值为  .
 
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(n∈N+)
(1)求a的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(1﹣an)log3(an2•an+1),求 的前n项和为Tn.
18.某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位:cm)频数分布表如表1、表2.
表1:男生身高频数分布表
 身高(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)
 频数 2  5   14 13  4  2
表2:女生身高频数分布表
 身高(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)
 频数 1  7  12  6  3  1
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出1人,设X表示身高在[165,180)学生的人数,求X的分布列及数学期望.
19.用如图所示的几何体中,四边形BB1C1C是矩形,BB1⊥平面ABC,A1B1∥AB,AB=2A1B1,E是AC的中点.
(1)求证:A1E∥平面BB1C1C;
(2)若AC=BC,AB=2BB1,求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值.
 
20.已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:  + =1(a>b>0)过点(1, ),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点( ,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.
21.已知函数f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣ ,其中a∈R
(1)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),求函数h(x)的单调区间;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围.
 
[坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知三点O(0,0),A(2, ),B(2 , ).
(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为 (θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.
 
[不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|.
(1)求不等式f(x)>1解集;
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,求实数m的取值范围.
 

2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|y=lg(x2+4x﹣12)},B={x|﹣3<x<4},则A∩B等于(  )
A.(﹣3,﹣2) B.(﹣3,2) C.(2,4) D.(﹣2,4)
【考点】交集及其运算.
【分析】求对数函数的定义域得出集合A,根据交集的定义写出A∩B.
【解答】解:集合A={x|y=lg(x2+4x﹣12)}
={x|x2+4x﹣12>0}
={x|x<﹣6或x>2},
B={x|﹣3<x<4},
则A∩B={x|2<x<4}=(2,4).
故选:C.
 
2.复数z= 的实部为(  )
A.﹣2 B.﹣1 C.1、 D.0
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵z= = ,
∴复数z= 的实部为0.
故选:D.
 
3.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:
 Y
X  y1  y2  总计
 x1  a  10  a+10
 x2  c  30  c+30
 总计  60  40  100
对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(  )
A.a=45,c=15 B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=30
【考点】独立性检验的应用.
【分析】根据题意,a、c相差越大, 与 相差就越大,
由此得出X与Y有关系的可能性越大.
【解答】解:根据2×2列联表与独立性检验的应用问题,
当 与 相差越大,X与Y有关系的可能性越大;
即a、c相差越大, 与 相差越大;
故选:A.
 
4.已知函数f(x)=cos(ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(  )
A.可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移 个单位而得
B.可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移 个单位而得
C.可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移 个单位而得
D.可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移 个单位而得
【考点】余弦函数的图象.
【分析】根据函数f(x)的最小正周期为π,求出解析式,在利用三角函数的平移变换考查也选项即可.
【解答】解:函数f(x)=cos(ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期为π,
即T= ,
∴ω=2,
则f(x)=cos(2x﹣ )的图象可有函数g(x)=cos2x的图象向右平移 个单位而得.
故选:D.
 
5.执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为(  )
 
A.10 B.15 C.18 D.21
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,S的值,当n=5,S=15时,不满足条件S<kn=15,退出循环,输出S的值为15,即可得解.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
k=3,n=1,S=1
满足条件S<kn,执行循环体,n=2,S=3
满足条件S<kn,执行循环体,n=3,S=6
满足条件S<kn,执行循环体,n=4,S=10
满足条件S<kn,执行循环体,n=5,S=15
此时,不满足条件S<kn=15,退出循环,输出S的值为15.
故选:B.
 
6.在△ABC中,A=30°,AB=3,AC=2 ,且 +2 =0,则 • 等于(  )
A.18 B.9 C.﹣8 D.﹣6
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】首先由已知求出角B的大小,然后根据直角三角形的性质得到CD,再数量积公式计算可得.
【解答】解:由题意,如图:因为2 ×sin30°=3=AB,所以∠C=90°,因为 +2 =0,则AD=2,BD=1,则BC= ,

所以tan∠BCD= ,所以∠BCD=30°,所以∠DCA=30°,得到CD=2,
所以 • =2 ×2×cos150°=﹣6.
故选:D.
 
 
7.若实数x,y满足不等式组 且3(x﹣a)+2(y+1)的最大值为5,则a等于(  )
A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1
【考点】简单线性规划.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,在可行域中找出最优点,然后求解即可.
【解答】解:实数x,y满足不等式组 ,不是的可行域如图:
3(x﹣a)+2(y+1)=3x+2y+2﹣3a的最大值为:5,由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a,经过A时,z取得最大值,
由 ,可得A(1,3)可得3+6+2﹣3a=5,
解得a=2.
故选:C.
 
 
8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )
 
A.6 B.9 C.12 D.18
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体,
结合图中数据求出它的体积即可.
【解答】解:根据几何体的三视图知,
该几何体是上部为长方体,下部为三棱柱的组合体,
画出几何体的直观图如图所示,
根据图中数据,计算其体积为
V组合体=V三棱柱+V长方体
= .
 
故选:C.
 
9.若tan cos =sin ﹣msin ,则实数m的值为(  )
A.2  B.  C.2 D.3
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用“切化弦”的思想,在结合二倍角即可求解.
【解答】解:由tan cos =sin ﹣msin ,
可得:sin cos =cos sin ﹣msin cos ,
⇔sin cos( )=cos sin( )﹣msin cos ,
⇔sin2 =cos2 ﹣ sin ,
⇔ ,
∴m=
故选:A.
 
10.已知f(x)= 在区间(0,4)内任取一个为x,则不等式log2x﹣(log 4x﹣1)f(log3x+1)≤ 的概率为(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】几何概型.
【分析】先求出不等式log2x﹣(log 4x﹣1)f(log3x+1)≤ 的解集,再以长度为测度,即可得出结论.
【解答】解:由题意,log3x+1≥1且log2x﹣(log 4x﹣1)≤ ,或0<log3x+1<1且log2x+2(log 4x﹣1)≤ ,
解得1≤x≤2或 <x<1,
∴原不等式的解集为( ,2].
则所求概率为 = .
故选:B.
 
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2 )(x0> )是抛物线C上一点.圆M与线段MF相交于点A,且被直线x= 截得的弦长为 |MA|.若 =2,则|AF|等于(  )
A.  B.1 C.2 D.3
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】由椭圆的性质,分别表示出丨DE丨,丨DM丨,丨ME丨,利用勾股定理求得p和x0关系,与px0=4,联立求得p和x0的值,则丨AF丨= (x0+ ).
【解答】解:由题意:M(x0,2 )在抛物线上,则8=2px0,则px0=4,①
由抛物线的性质可知,丨DM丨=x0﹣ ,
 =2,则丨MA丨=2丨AF丨= 丨MF丨= (x0+ ),
∵被直线x= 截得的弦长为 |MA|,则丨DE丨= 丨MA丨= (x0+ ),
由丨MA丨=丨ME丨=r,
在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即 (x0+ )2+(x0﹣ )2= (x0+ )2,
代入整理得:4x02+p2=20 ②,
由①②,解得:x0=2,p=2,
∴丨AF丨= (x0+ )=1,
故选:B.
 
 
12.已知函数f(x)=aex﹣2x﹣2a,且a∈[1,2],设函数f(x)在区间[0,ln2]上的最小值为m,则m的取值范围是(  )
A.[﹣2,﹣2ln2] B.[﹣2,﹣ ] C.[﹣2ln2,﹣1] D.[﹣1,﹣ ]
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】构造函数g(a),根据a的范围,求出f(x)的最大值,设为M(x),求出M(x)的导数,根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解:构造函数g(a)=(ex﹣2)a﹣2x是关于a的一次函数,
∵x∈[0,ln2],∴ex﹣2<0,即y=g(a)是减函数,
∵a∈[1,2],∴f(x)max=2(ex﹣2)﹣2x,设M(x)=2(ex﹣2)﹣2x,
则M′(x)=2ex﹣2,∵x∈[0,ln2],
∴M′(x)≥0,则M(x)在[0,ln2]上递增,
∴M(x)min=M(0)=2,M(x)max=M(ln2)=﹣2ln2,
m的取值范围是[﹣2,﹣2ln2],
故选:A.
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(x+3)(1﹣ )5的展开式中常数项为 43 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】(1﹣ )5的展开式中通项公式Tk+1=  =(﹣2)k  ,令﹣ =0,或﹣1,解得k即可得出.
【解答】解:(1﹣ )5的展开式中通项公式Tk+1=  =(﹣2)k  ,
令﹣ =0,或﹣1,解得k=0,或2.
∴(x+3)(1﹣ )5的展开式中常数项=3+ =43.
故答案为:43.
 
14.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右端点分别为A、B两点,点C(0,  b),若线段AC的垂直平分线过点B,则双曲线的离心率为   .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形,则 b= •2a,由a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到所求值.
【解答】解:由线段AC的垂直平分线过点B,结合对称性可得△ABC为等边三角形,
则 b= •2a,
即b= a,
c= = = a,
则e= = ,
故答案为: .
 
15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为 .若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为   .
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值,可求a2+c2﹣b2=4,代入“三斜求积”公式即可计算得解.
【解答】解:根据正弦定理:由a2sinC=4sinA,可得:ac=4,
由于(a+c)2=12+b2,可得:a2+c2﹣b2=4,
可得:  = = .
故答案为: .
 
16.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为 的正方形,AA1=3,E是AA1的中点,过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则CF与平面ABCD所成角的正切值为   .
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】连结AC、BD,交于点O,当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,从而F∈AA1,进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角,由△C1A1F∽△EAO,求出AC,由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值.
【解答】解:连结AC、BD,交于点O,
∵四边形ABCD是正方形,AA1⊥底面ABCD,
∴BD⊥平面ACC1A1,
则当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,
∵F∈平面ABB1A1,∴F∈AA1,
∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角,
在矩形ACC1A1中,△C1A1F∽△EAO,
则 ,
∵A1C1=2AO= AB=2,AE= ,
∴A1F= ,∴AF= ,
∴tan∠CAF= = .
∴CF与平面ABCD所成角的正切值为 .
故答案为 .
 
 
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(n∈N+)
(1)求a的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(1﹣an)log3(an2•an+1),求 的前n项和为Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a(n∈N+),n=1时,6a1=9+a;n≥2时,6an=6(Sn﹣Sn﹣1),可得an=3n﹣1,n=1时也成立,于是1×6=9+a,解得a.
(2)由(1)代入可得bn=(1+3n) =(3n+1)(3n﹣2),因此 = .利用“裂项求和”方法即可得出.
【解答】解:(1)∵等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a(n∈N+),
n=1时,6a1=9+a;
n≥2时,6an=6(Sn﹣Sn﹣1)=3n+1+a﹣(3n+a)=2×3n.
∴an=3n﹣1,n=1时也成立,∴1×6=9+a,解得a=﹣3.
∴an=3n﹣1.
(2)bn=(1﹣an)log3(an2•an+1)=(1+3n) =(3n+1)(3n﹣2),
∴ = .
 的前n项和为Tn= +…+
= = .
 
18.某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位:cm)频数分布表如表1、表2.
表1:男生身高频数分布表
 身高(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)
 频数 2  5   14 13  4  2
表2:女生身高频数分布表
 身高(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)
 频数 1  7  12  6  3  1
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出1人,设X表示身高在[165,180)学生的人数,求X的分布列及数学期望.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)设高一女学生人数为x,由表1和2可得样本中男女生人数分别为40,30,则 = ,解得x.
(2)由表1和2可得样本中男女生人数分别为:5+14+13+6+3+1=42.样本容量为70.可得样本中该校学生身高在[165,180)的概率= .即估计该校学生身高在[165,180)的概率.
(3)由题意可得:X的可能取值为0,1,2.由表格可知:女生身高在[165,180)的概率为 .男生身高在[165,180)的概率为 .即可得出X的分布列与数学期望.
【解答】解:(1)设高一女学生人数为x,由表1和2可得样本中男女生人数分别为40,30,
则 = ,解得x=300.
因此高一女学生人数为300.
(2)由表1和2可得样本中男女生人数分别为:5+14+13+6+3+1=42.样本容量为70.
∴样本中该校学生身高在[165,180)的概率= = .
估计该校学生身高在[165,180)的概率= .(3)由题意可得:X的可能取值为0,1,2.
由表格可知:女生身高在[165,180)的概率为 .男生身高在[165,180)的概率为 .
∴P(X=0)= = ,P(X=1)= + = ,P(X=2)= = .
∴X的分布列为:
X 0 1 2
P     
∴E(X)=0+ + = .
 
19.用如图所示的几何体中,四边形BB1C1C是矩形,BB1⊥平面ABC,A1B1∥AB,AB=2A1B1,E是AC的中点.
(1)求证:A1E∥平面BB1C1C;
(2)若AC=BC,AB=2BB1,求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值.
 
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)取AB的中点F,连结EF,A1F.则可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C;
(2)连结CF,则CF⊥AB,以F为原点,FC为x轴,FB为y轴,FA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值.
【解答】证明:(1)取AB的中点F,连结EF,A1F.
∵AB=2A1B1,∴BF=A1B1,
又A1B1∥AB,∴四边形A1FBB1是平行四边形,
∴A1F∥BB1,∵E,F分别AC,AB的中点,∴EF∥BC,
又EF⊂平面A1EF,A1F⊂平面A1EF,EF∩A1F=F,BC⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,BC∩BB1=B,
∴平面A1EF∥平面BB1C1C.
又A1E⊂平面A1EF,∴A1E∥平面BB1C1C.                                                                                                         
解:(2)连结CF,则CF⊥AB,
以F为原点,FC为x轴,FB为y轴,FA1为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,﹣1,0),A1(0,0,1),B(0,1,0),C( ,0,0),
∴E( ,﹣ ,0), =(0,﹣1,1), =( ,﹣ ,0),
设平面A1BE的一个法向量为 =(x,y,z),
 ,取y=1,得 =( ,1,1),
平面ABA1的法向量 =(1,0,0),设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ,
 ,则cosθ=  .
∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为 ,
 
 
20.已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:  + =1(a>b>0)过点(1, ),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点( ,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由椭圆C:  + =1(a>b>0)过点(1, ),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,求出a,b,c,椭圆方程可求;
(2)线l过点( ,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+ ,和椭圆方程联立,把MA的斜率用直线l的斜率表示,由基本不等式求得范围.
【解答】解:(1)∵椭圆C过点(1, ),∴ + =1,①…
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,∴a=2c,…
∴ ,②…
由①②得a=2,b= ,…
∴椭圆C的方程为 …
(2)依题意,直线l过点( ,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+ …
联立方程组消去x,并整理得4(3m2+4)y2+12my﹣45=0
设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),则
∴y1+y2=﹣ ,
∴y0=﹣ ,x0= ,
∴k= ,
①当m=0时,k=0;
②当m≠0时,k= ,
∵|4m+ |=4|m|+ ≥8,∴0<|k|≤ ,∴﹣ ≤k≤ 且k≠0.
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是:﹣ ≤k≤ .…
 
21.已知函数f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣ ,其中a∈R
(1)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),求函数h(x)的单调区间;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)先求函数h(x)的定义域,求出函数h(x)的导数,从而讨论判断函数的单调性;(2)分类讨论函数的单调性,从而化存在性问题为最值问题,从而解得.
【解答】解:(1)函数h(x)=x﹣alnx+ 的定义域为(0,+∞),
h′(x)=1﹣ ﹣ = ,
①当1+a≤0,即a≤﹣1时,
h′(x)>0,
故h(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当1+a>0,即a>﹣1时,
x∈(0,1+a)时,h′(x)<0;x∈(1+a,+∞)时,h′(x)>0;
故h(x)在(0,1+a)上是减函数,在(1+a,+∞)上是增函数;
(2)由(1)令h(x0)=f(x0)﹣g(x0),x0∈[1,e],
①当a≤﹣1时,
存在x0∈[1,e](e=2.718…),使得h(x0)<0成立可化为
h(1)=1+1+a<0,
解得,a<﹣2;
②当﹣1<a≤0时,
存在x0∈[1,e](e=2.718…),使得h(x0)<0成立可化为
h(1)=1+1+a<0,解得,a<﹣2;
③当0<a≤e﹣1时,
存在x0∈[1,e](e=2.718…),使得h(x0)<0成立可化为
h(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,无解;
④当e﹣1<a时,
存在x0∈[1,e](e=2.718…),使得h(x0)<0成立可化为
h(e)=e﹣a+ <0,
解得,a> ;
综上所述,
a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪( ,+∞).
 
[坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知三点O(0,0),A(2, ),B(2 , ).
(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为 (θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.
【考点】圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)求出圆C1的普通方程,再将普通方程转化为极坐标方程;
(2)将圆C2化成普通方程,根据两圆外切列出方程解出a.
【解答】解:(1)将O,A,B三点化成普通坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).
∴圆C1的圆心为(1,1),半径为 ,
∴圆C1的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,
将 代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,
∴ρ=2 sin( ).
(2)∵圆C2的参数方程为 (θ是参数),
∴圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆C2的圆心为(﹣1,﹣1),半径为|a|,
∵圆C1与圆C2外切,∴2 = +|a|,解得a=± .
 
[不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|.
(1)求不等式f(x)>1解集;
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(1)由条件利用绝对值的意义求得不等式f(x)>1解集.
(2)根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|,再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值,从而求得m的范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离,
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1,
故不等式f(x)>1解集为{x|x>0}.
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,
即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|.
利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7,
∴|1﹣m|≤7,故﹣7≤m﹣1≤7,求得﹣6≤m≤8,
m的范围为[﹣6,8].
 

2017年3月20日

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