2017届高三数学(理)第五次模拟考试卷(东北育才学校附答案)

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2017届高三数学(理)第五次模拟考试卷(东北育才学校附答案)

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东北育才学校高中部2017届高三第五次模拟
数学试题(理科)
   考试时间:120分钟     试卷满分:150分    命题:高三数学备课组
第Ⅰ卷(选择题  共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合 , ,则
  A.           B.            C.         D.
2.在复平面内,复数 对应的点位于
  A.第一象限       B.第二象限        C.第三象限       D.第四象限
3.已知平面向量 满足 ,且 ,则向量 与 的夹角
  A.              B.              C.            D.
4.设 是等差数列 的前 项和,且 ,则
   A.9              B.8               C.7             D. 6
5.已知圆 的半径为 ,圆心在 轴的正半轴上,直线 与圆 相切,
则圆 的方程为
  A.   B.
  C.   D.
6.在如下程序框图中,任意输入一次
与 ,则能输出“恭喜中奖!”的概率为
A.         B.          C.         D.
7.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边
求三角形面积的“三斜公式”,设 三个内角
 所对的边分别为 ,面积为 ,则
“三斜求积”公式为 .若 ,则用“三斜求积”公式求得 的面积为
   A.           B.2         C.3          D.
8.一块硬质材料的三视图如图所示,主视图和俯视图都是边长为 的正方形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近
   A.       B.       C.       D.
9.我们知道:在平面内,点 到直线
的距离公式为 ,通过类比的方法,可求得:在空间中,点 到平面 的距离为
   A.3       B.5      C.      D.
10.已知 ,则 等于
   A.          B.        C.          D.20
11.已知点 是抛物线 与圆 在第一象限的公共点,且点 到抛物线 焦点 的距离等于 .若抛物线 上一动点到其准线与到点 的距离之和的最小值为 ,则 为
   A.          B.        C.          D.
12.函数 与函数 的图象至少有两个公共点,关于 不等式 有解,则实数 的取值范围是
   A.        B. C.         D.
第Ⅱ卷(非选择题  共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.设实数 满足 ,则目标函数 的最大值为            .
14. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则          .
15.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不同,现了解到以下情况:
①甲不是最高的;②最高的也没报铅球;③最矮的参加了跳远;④乙不是最矮的,也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是               .
16. 已知四面体 中, , ,
 ,则四面体 的体积                  .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
    已知 .
(Ⅰ)若 ,求 的值;
(Ⅱ)若 ,求函数 的单调减区间.

18.(本题满分12分)
如图,在三棱柱 中, , ,
 , 在底面 的射影为 的中点, 是 的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的余弦值.

19. (本小题满分12分)
    传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果,进行了一次阶段检测,并从中随机抽取80名同学的成绩,然后就其成绩分为 五个等级进行数据统计如下:
成绩 人数
A 9
B 12
C 31
D 22
E 6
根据以上抽样调查数据,视频率为概率.
(Ⅰ)若该校高二年级共有1000名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为 的人数;
(Ⅱ)若等级 分别对应100分、80分、60分、40分、20分,学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”,请问该校高二年级此阶段教学是否达标?
(Ⅲ)为更深入了解教学情况,现采取分层抽样的方式,从已抽取的80人中成绩等级为 的学生中抽取7人,再从中任意抽取3名,求抽到成绩为 的人数 的分布列与数学期望.
20.(本小题满分12分)
     已知椭圆 上的动点 与其顶点 不重合.
(Ⅰ)求证:直线 与 的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)设点 在椭圆 上, 为坐标原点,当 , 时,求 的面积.


21.(本小题满分l2分)
    已知函数 , .
(Ⅰ)求函数 在 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时, ≤ 恒成立,求 的取值范围;
(Ⅲ)当 时,求证:不等式 .


请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
    在直角坐标系 中,直线 的方程为 ,曲线 的参数方程为 ( 是参数, ).以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)分别写出直线 与曲线 的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线 ,直线 与曲线 的交点为 ,直线 与 的交点为 ,求 .


23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
     已知函数 .
(Ⅰ)若关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)若关于 的一元二次方程 有实根,求实数 的取值范围. 

东北育才学校高中部2017届高三第五次模拟数学试题(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.D  2.A  3.C  4.C  5.D  6.D  7.A  8.A  9.B  10.C  11.B  12.B
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.5        14.722     15. 跑步     16.4
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解:(Ⅰ)∵ , ,
∴ ,即 ,                           …………3分

∴ .                                       …………6分
(Ⅱ)∵ ,
∴ ,                                       …………9分
由 得 ,
∴函数 的单调减区间为 .              …………12分
18.解:(Ⅰ)设E为BC的中点,连接 由题意得
所以 因为 ,所以 故
…………3分
由D,E分别为 ,BC的中点,得 ,
从而 ,所以四边形 为平行四边形
 故 ,又因为 所以            …………5分
(Ⅱ)以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB为x,y轴
的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz,如图所示由题意知各点坐标如下:
 
所以  
                                         …………6分
设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为
由 ,即 可取 …………8分
由 ,即 可取 …………10分
于是 由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,
故二面角 的平面角的余弦值为 ……………………12分
19. (Ⅰ)解:由于这 人中,有 名学生成绩等级为 ,
所以可以估计该校学生获得成绩等级为 的概率为 ………………2分
则该校高二年级学生获得成绩为 的人数约有 ………………3分
(Ⅱ)由于这 名学生成绩的平均分为:
 …………………………4分
且 ,因此该校高二年级此阶段教学未达标………………………………6分
(III)成绩为 、 的同学分别有 人, 人,
所以按分层抽样抽取 人中成绩为 的有 人,成绩为 的有 人……………7分
则由题意可得: , ,
 , …………………………10分
所以 ……………………………12分
20.解:(Ⅰ)证明:设P(x0,y0),则 .
所以直线PA与PB的斜率乘积为 .
                                                          …………4分
(Ⅱ)依题直线 的斜率乘积为 .      
①当直线 的斜率不存在时,直线 的斜率为 ,
设直线 的方程是 ,由 得 , .
取 ,则 .所以 的面积为 .…………6分
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程是 ,
由 得 .
因为 在椭圆 上,
所以 解得 .
设 ,则 ,
 =
设点 到直线 的距离为 ,则 .
所以 的面积为
 …①.             …………8分
因为 ,直线 的斜率乘积为 ,所以 .
又 .
所以 .…②                            …………10分
由①②,得 .
综上所述, .                             …………12分
21.(I) 的定义域为  ,
则 ,又
 所求切线方程为 .                   ……………2分
(II) ,令 ,
 ,令 , ,
  ,
 , .
(2) ,
 以下论证 .
 ,
 ,
 ,
综上所述, 的取值范围是                   ………………8分
(Ⅲ)原问题等价于证明:当 时, .
法1:设 则 ,
设 则
 , ,即 单调递增
故 单调递增, ,
 在 单调递增,
  .                           ………………12分
法2:由(II)得, ,
若证 ,只需证

 ,而 ,所以 ,
即 成立.                         ………………12分
22.(1)直线 的极坐标方程为 ,………………………………2分
曲线 的普通方程为 ,又 ,
所以曲线 的极坐标方程为 …………………………5分
(2)设 ,则有 ,解得 ………………7分
设 ,则有 ,解得 ……………9分
所以 ……………………………………………………………10分
23.解:(Ⅰ)因为
所以 ,即 ,
所以实数 的取值范围为 .                           ………5分
(Ⅱ) ,
即 ,
所以不等式等价于
 或 或
所以 ,或 ,或 ,
所以实数 的取值范围是 .                   ………10分

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