苏教版高中数学选修1-1第2章圆锥曲线与方程章末检测题(附解析)

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苏教版高中数学选修1-1第2章圆锥曲线与方程章末检测题(附解析)

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(时间:120分钟;满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上)
1.椭圆x220+y2k=1的焦距为6,则k的值为________.
解析:由已知2c=6,∴c=3,而c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.
答案:11或29
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=________.
解析:由题意知,m<0,双曲线mx2+y2=1化为标准形式y2-x2-1m=1,故a2=1,b2=-1m,所以a=1,b=-1m,则由2-1m=2×2,解得m=-14.
答案:-14
3.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为________.
解析:不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则有2b2a=2 a2c-c=1,即2b2a=2, ①b2c=1, ②
①÷②得e=22.
答案:22
4.与x2-4y2=1有相同的渐近线,且过M(4,3)的双曲线方程为________.
解析:设方程为x2-4y2=λ(λ≠0),将M(4,3)代入方程得λ=4,所以方程为x24-y2=1.
答案:x24-y2=1
5.已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________.
解析:即求离心率,双曲线化为标准方程x23-y29=1,
可知a=3,c=a2+b2=3+9=23,e=ca=233=2.
答案:2
6.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合,则p的值为________.
解析:椭圆x26+y22=1的右焦点为(2,0),而抛物线y2=2px的焦点为(p2,0),则p2=2,故p=4.
答案:4
7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若OA→•AF→=-4,则点A的坐标是________.
解析:由题意得F(1,0),设A(y204,y0),则OA→=(y204,y0),AF→=(1-y204,-y0),由OA→•AF→=-4,解得y0=±2,此时点A的横坐标为y204=1,故点A的坐标是(1,±2).
答案:(1,±2)
8.设P是椭圆x225+y216=1上的任意一点,又点Q的坐标为(0,-4),则PQ的最大值为________.
解析:设P的坐标(x,y),则PQ2=x2+(y+4)2=25(1-y216)+(y+4)2=-916(y-649)2+6259(-4≤y≤4),
当y=4时,PQ2最大,
此时PQ最大,且PQ的最大值为
25×1-4216+4+42=8.
答案:8
9.以双曲线x29-y216=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是________.
解析:由题意知圆心坐标应为(5,0).又因为点(5,0)到渐近线y=±43x的距离为4,
所以圆的方程为x2+y2-10x+9=0.
答案:x2+y2-10x+9=0
10.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为3,则这个椭圆方程为________.
解析:由题意知a-c=3 ca=12,解得a=23 c=3,
椭圆方程为x212+y29=1或y212+x29=1.
答案:x212+y29=1或y212+x29=1
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN→|•|MP→|+MN→•NP→=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为________.
解析:设P(x,y),M(-2,0),N(2,0),则MN→=(4,0),|MN→|=4,MP→=(x+2,y),NP→=(x-2,y);
由|MN→|•|MP→|+MN→•NP→=0,
得4x+22+y2+4(x-2)=0,
化简整理得y2=-8x.
答案:y2=-8x
12.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP→=2PA→且OQ→•AB→=1,则点P的轨迹方程是________.
解析:设P(x,y),则Q(-x,y),又设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0.
于是BP→=(x,y-b),PA→=(a-x,-y),由BP→=2PA→可得a=32x,b=3y,所以x>0,y>0.
又AB→=(-a,b)=(-32x,3y),
由OQ→•AB→=1可得32x2+3y2=1(x>0,y>0).
答案:32x2+3y2=1(x>0,y>0)
13.抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,则m的取值范围是____________.
解析:法一:设两对称点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)
且AB所在直线的方程可设为:y=-1mx+b,
代入y2=x,得y2+my-mb=0,
∴y1+y2=-m,
且Δ=m2+4mb>0.①
设A、B的中点为(x0,y0),则y0=y1+y22=-m2,
又A、B的中点在直线y=m(x-3)上,所以x0=52,
又(x0,y0)在直线y=-1mx+b上.
∴b=y0+1mx0=-m2+52m,
代入①并整理得:m2<10,
∴-10<m<10,
∴m的取值范围是(-10,10).
法二:设两对称点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),且A、B的中点为(x0,y0),依题意,则有:
y21=x1     ①y22=x2  ②y1-y2x1-x2=-1m  ③y1+y2=2y0  ,  ④x1+x2=2x0  ⑤y0=mx0-3  ⑥y20<x0  ⑦
①-②得:(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2,
将③④代入上式得:y0=-m2,⑧
将⑧代入⑥得:x0=52,⑨
将⑧⑨代入⑦得-m22<52,
∴m2<10,∴-10<m<10.
∴m的范围是(-10,10).
答案:(-10,10)
14.已知F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0且a≠b)的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题:
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上;
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;
④△PF1F2的内切圆必通过点(a,0).
其中真命题有________(写出所有真命题的代号).
解析:设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则PA=PB,F1A=F1M,F2B=F2M,又点P在双曲线右支上,所以PF1-PF2=2a,故F1M-F2M=2a,而F1M+F2M=2c,设M点坐标为(x,0),则由F1M-F2M=2a可得(x+c)-(c-x)=2a解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故①④正确.
答案:①④
二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)如图,一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶4 m 时,水面宽8 m.
 
(1)试建立坐标系,求抛物线的标准方程;
(2)若水面上升1 m,求水面宽度.

解:(1)如图,以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,
 
设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).
由已知条件可知,点B的坐标是(4,-4),代入方程,得42=-2p×(-4),即p=2.
所以,所求抛物线标准方程是x2=-4y.
(2)若水面上升1 m,则y=-3,代入x2=-4y,
得x2=-4×(-3)=12,x=±23,所以这时水面宽为43 m.
16.(本小题满分14分)已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.
解:(1)把椭圆方程化为标准形式为x29+y24=1,焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).
故设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=59a2-4b2=1,解得a2=3b2=2,
故所求双曲线的标准方程为x23-y22=1.
(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x=355,即为抛物线的准线方程.故设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则有p2=355,故p=655.
所以抛物线的标准方程为y2=-1255x.
17.(本小题满分14分)已知双曲线x29-y227=1与点M(5,3),F为右焦点,试在双曲线上求一点P,使PM+12PF最小,并求出这个最小值.

解:双曲线的右焦点F(6,0),离心率e=2,右准线为l:x=32.作MN⊥l于N,交双曲线右支于P,连结FP,则PF=ePN=2PN⇒PN=12PF.此时PM+12PF=PM+PN=MN=5-32=72为最小值.
 
在x29-y227=1中,令y=3,x2=12⇒x=±23;
又∵x>0,∴取x=23.
即当所求P点的坐标为(23,3)时,PM+12PF取最小值72.
18.(本小题满分16分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点N(-2,1)在椭圆上,线段NF2与y轴的交点M满足NM→+F2M→=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=π3,求△F1PF2的面积.
解:(1)由已知,点N(-2,1)在椭圆上,
∴有2a2+1b2=1,①
又∵NM→+F2M→=0,M在y轴上,∴M为NF2的中点,
∴-2+c=0,c=2.∴有a2-b2=2,②
由①②,解得b2=2(b2=-1舍去),∴a2=4,故所求椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)设PF1=m,PF2=n,
则S△F1PF2=12mnsinπ3=34 mn.
由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即m+n=4.①
又由余弦定理得PF21+PF22-2PF1•PF2cosπ3=F1F22,即m2+n2-mn=(22)2.②
由①2-②,得mn=83,∴S△F1PF2=233.
19.(本小题满分16分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
 
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p2,
于是4+p2=5,∴p=2.∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0),∴kFA=43;MN⊥FA,∴kMN=-34,
则FA的方程为y=43(x-1),
MN的方程为y-2=-34x.
解方程组y=43x-1y-2=-34x,得x=85 y=45,
∴点N的坐标为(85,45).
(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2.
当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,
当m≠4时,直线AK的方程为y=44-m(x-m),
即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|16+m-42,
令d>2,解得m>1.
∴当m>1时,直线AK与圆M相离;
当m=1时,直线AK与圆M相切;
当m<1时,直线AK与圆M相交.
20. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
 

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;
(2)设x1=2,x2=13,求点T的坐标;
(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).
解:由题设得A(-3,0),B(3,0),F(2,0).
(1)如图,设点P(x,y),则PF2=(x-2)2+y2,
PB2=(x-3)2+y2.
由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,
化简得x=92.
故所求点P的轨迹为直线x=92.
(2)如图,由x1=2,x219+y215=1及y1>0,得y1=53,则点M2,53,从而直线AM的方程为y=13x+1;
 
由x2=13,x229+y225=1及y2<0,得y2=-209,
则点N13,-209,
从而直线BN的方程为y=56x-52.
由y=13x+1,y=56x-52,解得x=7,y=103.
所以点T的坐标为7,103.
(3)证明:如图,由题设知,直线AT的方程为y=m12(x+3),直线BT的方程为y=m6(x-3).
 
点M(x1,y1)满足y1=m12x1+3,x219+y215=1,得
x1-3x1+39=-m2122•x1+325.
因为x1≠-3,则
x1-39=-m2122•x1+35,解得x1=240-3m280+m2,
从而得y1=40m80+m2.
点N(x2,y2)满足y2=m6x2-3,x229+y225=1,
解得x2=3m2-6020+m2,y2=-20m20+m2.
若x1=x2,则由240-3m280+m2=3m2-6020+m2及m>0,得m=210,此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0).
若x1≠x2,则m≠210,直线MD的斜率
kMD=40m80+m2240-3m280+m2-1=10m40-m2,
直线ND的斜率kND=-20m20+m23m2-6020+m2-1=10m40-m2,
得kMD=kND,所以直线MN过定点D.
因此直线MN必过x轴上的定点(1,0).


 

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