北师大版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语综合检测题(含解析)

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北师大版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语综合检测题(含解析)

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莲山 课件 w w
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(时间:100分钟,满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“任意x∈R,ex>x2”的否定是(  )
A.存在x∈R,使得ex≤x2
B.任意x∈R,使得ex≤x2
C.存在x∈R,使得ex>x2
D.不存在x∈R,使得ex>x2
解析:选A.此命题是全称命题,其否定为:“存在x∈R,使得ex≤x2”.
2.原命题“若x≤-3,则x<0”的逆否命题是(  )
A.若x<-3,则x≤0
B.若x>-3,则x≥0
C.若x<0,则x≤-3
D.若x≥0,则x>-3
解析:选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换,故该命题的逆否命题为“若x≥0,则x>-3”.
3.已知条件p:x>0,条件q:x≥1,则p是q成立的(  )
A.充分不必要条件     B.必要不充分条件
C.充要条件   D.既不充分也不必要条件
解析:选B.因为{x|x≥1} {x|x>0},所以p是q的必要不充分条件.
4.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是(  )
A.a⊥α,b∥β,α⊥β   B.a⊥α,b⊥β,α∥β
C.a α,b⊥β,α∥β   D.a α,b∥β,α⊥β
解析:选C.因为b⊥β,α∥β,所以b⊥α,又a α,所以a⊥b.
5.命题p:将函数y=sin 2x的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=sin(2x-π3)的图像;命题q:函数y=sin(x+π6)cos(π3-x)的最小正周期是π,则命题“p或q”“p且q”“非p”中真命题的个数是(  )
A.0   B.1
C.2   D.3
解析:选C.将函数y=sin 2x的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=sin 2(x-π3)=sin(2x-2π3)的图像,所以命题p是假命题,“非p”是真命题,“p且q”是假命题.
函数y=sin(x+π6)cos(π3-x)=cos(π2-x-π6)•cos(π3-x)=cos2(π3-x)=cos(2x-2π3)2+12,最小正周期为π,命题q为真命题,所以“p或q”为真命题,故真命题有2个,故选C.
6.命题“存在x∈R,2x+x2≤1”的否定是(  )
A.对于任意的x∈R,2x+x2>1,假命题
B.对于任意的x∈R,2x+x2>1,真命题
C.存在x∈R,2x+x2>1,假命题
D.存在x∈R,2x+x2>1,真命题
解析:选A.因为x=0时,20+02=1≤1,所以该命题的否定“对于任意的x∈R,2x+x2>1”是假命题.
7.已知平面α,直线l⃘α,直线m α,则“直线l∥α”是“l∥m”的(  )
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件
C.充要条件   D.既不充分也不必要条件
解析:选B.l∥α,l⃘α,m α,l与m可能平行或异面;反过来,若l∥m,l⃘α,m α,则l∥α.
8.命题p:“若x2-3x+2≠0,则x≠2”,若p为原命题,则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为(  )
A.0   B.1
C.2   D.3
解析:选B.因为p真,其逆否命题为真;逆命题为假,否命题也为假,故选B.
9.已知命题p:函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为π;命题q:若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的是(  )
A.p且q   B.p或q
C.(非p)且(非q)   D.p或(非q)
解析:选B.函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为π2知命题p为假命题;若函数f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)关于x=1对称,据此可知命题q为真命题,根据真值表可得“p或q”为真命题.
10.下列判断正确的是(  )
A.命题“a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数,则a,b都不是偶数”
B.若“p或q”为假命题,则“非p且非q”是假命题
C.已知a,b,c是实数,关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集,必有a>0且Δ≤0
D.x2≠y2⇔x≠y且x≠-y
解析:选D.对于A:其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数”,排除A.
对于B.若“p或q”为假命题,则p、q均为假命题,非p、非q均为真命题,故非p且非q为真命题,排除B.
对于C:ax2+bx+c≤0的解集是空集,
当a=0时,可得b=0,c>0,
当a≠0时,可得a>0Δ<0,排除C,故选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则c=________.
解析:由题意x=2⇒x2-2x+c=0,所以22-2×2+c=0,所以c=0.
答案:0
12.若命题“存在x<2 015,x>a”是假命题,则实数a的取值范围是________.
解析:因为“存在x<2 015,x>a”是假命题,所以其否定:“对任意x<2 015,x≤a”为真命题,所以a≥2 015.
答案:[2 015,+∞)
13.若a与b-c都是非零向量,则“a•b=a•c”是“a⊥(b-c)”的________条件.
解析:若a•b=a•c,则a•b-a•c=0,即a•(b-c)=0,所以a⊥(b-c);反之,若a⊥(b-c),则a•(b-c)=0,即a•b-a•c=0,所以a•b=a•c.从而有a•b=a•c⇔a⊥(b-c).
答案:充要
14.已知p:存在x∈R,mx2+1≤0;q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若“p或q”为假,则实数m的取值范围是________.
解析:“p或q”为假,则非p和非q均为真.
非p:对任意x∈R,mx2+1>0为真时,m≥0;非q:存在x∈R,x2+mx+1≤0为真时,Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2,故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤-2或m≥2}={m|m≥2}.
答案:[2,+∞)
15.如图,正方体ABCD­A1B1C1D1,则下列四个命题:
 
①P在直线BC1上运动时,三棱锥A­D1PC的体积不变;
②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;
③P在直线BC1上运动时,二面角P­AD1­C的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.
其中真命题的编号是________.
解析:对①,P在直线BC1上运动时,S△AD1P为定值,C到底面AD1P的距离为定值,①为真命题;
对②,P在直线BC1上运动时,P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变,但线段OA的长是变化的;所以②是假命题;
对③,由于BC1∥AD1,③为真命题;
对④,由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等,又D1A1 平面A1B1C1D1,④为真命题.
答案:①③④
三、解答题(本大题共5小题,共55分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分10分)判断下列命题的真假.
(1)“π是无理数”,及其逆命题;
(2)“若实数a,b不都为0,则a2+b2≠0”;
(3)命题“对于任意x∈(0,+∞),有x<4且x2+5x-24=0”的否定.
解:(1)原命题为真命题,其逆命题为:无理数是π,为假命题;
(2)原命题的逆否命题为“若a2+b2=0,则实数a,b同时为0”,显然为真,故原命题为真;
(3)原命题的否定为:存在x∈(0,+∞),使x≥4或x2+5x-24≠0显然为真命题.
17.(本小题满分10分)已知命题p:实数x满足x2-2x-8≤0;命题q:实数x满足|x-2|≤m(m>0).
(1)当m=3时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围;
(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解:(1)若p真:-2≤x≤4;当m=3时,若q真:-1≤x≤5,
因为“p且q”为真,所以-2≤x≤4,-1≤x≤5,
所以实数x的取值范围为[-1,4].
(2)因为非p是非q的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件,
因为若q真:2-m≤x≤2+m,
所以2-m≤-2,4≤2+m,且等号不同时取得,
所以m≥4.
18.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
解:(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x),即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m0>-4即可.
故存在实数m0使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),
若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,
所以f(x0)min=4,
所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
19.(本小题满分12分)已知p:x-5x-3≥2,q:x2-ax≤x-a,若非p是非q的充分条件,求实数a的取值范围.
解:因为p:x-5x-3≥2,
所以x-1x-3≤0,所以1≤x<3.
因为q:x2-ax≤x-a,
所以x2-(a+1)x+a≤0.
①当a<1时,a≤x≤1;
②当a=1时,x=1;
③当a>1时,1≤x≤a.
因为非p是非q的充分条件,
所以q是p的充分条件.
设q对应集合A,p对应集合B,则A⊆B,
当a<1时,A B,不合题意;
当a=1时,A⊆B,符合题意;
当a>1时,1≤x≤a,要使A⊆B,则1<a<3.
综上,a的取值范围为a∈[1,3).
20.(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.
(1)当b>0时,若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明:a≤2b;
(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b.
证明:(1)此题等价于对所有x∈R有ax-bx2≤1,即bx2-ax+1≥0,
因为b>0,所以Δ=a2-4b≤0.
又因为a>0,所以a≤2b.
(2)①必要性:设对所有x∈[0,1],有|f(x)|≤1,即-1≤ax-bx2≤1.
令x=1∈[0,1],则有-1≤a-b≤1,即b-1≤a≤b+1.
因为b>1,所以12-12b≤a2b≤12+12b.
这说明a2b∈[0,1].
所以fa2b≤1,即a22b-b•a24b2≤1.
所以a2≤4b,a≤2b.
综上所述,有b-1≤a≤2b.
②充分性:设b-1≤a≤2b.
因为b>1,所以a2b=a2b•1b<1.
所以当x∈[0,1]时f(x)的最大值为f(x)max=fa2b=a•a2b-b•a24b2=a24b<1.
又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线,
所以当x∈[0,1]时,f(x)的最小值f(x)min=
min{f(0),f(1)}=min{0,a-b}≥-1.
所以当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1.
综合①②可知,当b>1时,对任意x∈[0,1]有|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b.

 

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