2018北师大版高中数学必修三第3章章末综合检测三含解析

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2018北师大版高中数学必修三第3章章末综合检测三含解析

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来源莲
山课件 w ww.5 Y K j.Co M 章末综合检测(三)
(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;
②“当x为某一实数时,可使x2≤0”是不可能事件;
③“明天天津市要下雨”是必然事件;
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个,5个全是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是(  )
A.0           B.1
C.2   D.3
解析:选C.①④正确.
2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是(  )
A.至少有1个黑球与都是红球
B.至少有1个黑球与都是黑球
C.至少有1个黑球与至少有1个红球
D.恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析:选D.A中的两个事件是对立事件,不符合要求;B中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,不符合要求;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D中是互斥而不对立的两个事件.故选D.
3.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表:
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191
男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590
这一地区男婴出生的概率约是(  )
A.0.4   B.0.5
C.0.6   D.0.7
解析:选B.由表格可知,男婴出生的频率依次约为0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.
4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(  )
A.710   B.58
C.38   D.310
解析:选B.记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A,则P(A)=2540=58.
5.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(  )
A.13   B.12
C.23   D.56
解析:选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法,根据古典概型的概率计算公式,所求的概率为46=23.故选C.
6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(  )
A.13   B.12
C.23   D.34
解析:选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个,其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个,所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为39=13.
7.任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是(  )
A.1225   B.3899
C.1300   D.1450
解析:选C.三位正整数有100~999,共900个,而满足log2N为正整数的N有27,28,29,共3个,故所求事件的概率为3900=1300.
8.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为(  )
A.16   B.13
C.23   D.45
解析:选C.设|AC|=x cm,0<x<12,则|CB|=(12-x) cm,要使矩形面积大于20 cm2,只要x(12-x)>20,则x2-12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为P=10-212=23,故选C.
9.小明通过做游戏的方式来确定周末的活动,他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略),若弹珠到圆心的距离大于12,则周末去逛公园;若弹珠到圆心的距离小于14,则去踢足球;否则,在家看书.则小明周末不在家看书的概率为(  )
A.12   B.16
C.1316   D.512
解析:选C.由题意画出示意图,如图所示.表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示,则他在家看书的概率为π(12)2-π(14)2π=316,因此他不在家看书的概率为1-316=1316,故选C.
10.小莉与小明一起用A,B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,以小莉掷的A立方体朝上的数字为x,小明掷的B立方体朝上的数字为y,来确定点P(x,y),那么他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为(  )
A.16   B.19
C.112   D.118
解析:选C.根据题意,两人各掷立方体一次,每人都有6种可能性,则(x,y)的情况有36种,即P点有36种可能,而y=-x2+4x=-(x-2)2+4,即(x-2)2+y=4,易得在抛物线上的点有(2,4),(1,3),(3,3)共3个,因此满足条件的概率为336=112.
11.如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心牌(事件A)的概率为14,取到方片牌(事件B)的概率是13,则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是(  )
A.712,512   B.512,712
C.12,12   D.34,23
解析:选A.因为C=A+B,且A,B不会同时发生,即A,B是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=14+13=712.
又C,D是互斥事件,且C+D是必然事件,
所以C,D互为对立事件,
则P(D)=1-P(C)=1-712=512.
12.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(  )
A.110   B.310
C.35   D.910
解析:选D.记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2.从3个红球、2个白球中任取3个,则所包含的基本事件有{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2},{a2,a3,b1},{a2,a3,b2},{a1,b1,b2},{a2,b1,b2},{a3,b1,b2},共10个.由于每个基本事件发生的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件A-表示“所取的3个球中没有白球”,则事件A-包含的基本事件有1个:{a1,a2,a3}.
所以P(A-)=110.
故P(A)=1-P(A-)=1-110=910.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高分别为:(单位:cm)
162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.
根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm~170.5 cm之间的概率为________.(用分数表示)
解析:样本中有8人身高在155.5 cm~170.5 cm之间,所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm~170.5 cm之间的概率为820=25.
答案:25
14.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,则AM>AC的概率是________.
解析:设CA=CB=m(m>0),则AB=2m,P(AM>AC)=AB-ACAB=2m-m2m=1-22.
答案:1-22
15.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________.
解析:甲,乙,丙站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种.
甲,乙相邻而站有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种.
所以甲,乙两人相邻而站的概率为46=23.
答案:23
16.袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球,若从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是910,则从中任意摸出2个球,得到的都是白球的概率为________.
解析:因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球,若从袋中任意摸出2个球,共有10种情况,没有得到白球的概率为110,设白球个数为x,则黑球个数为5-x,那么,可知白球有3个,黑球有2个,因此可知从中任意摸出2个球,得到的都是白球的概率为310.
答案:310
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率.
(1)所得的三位数大于400;
(2)所得的三位数是偶数.
解:1,5,6三个数字可以排成156,165,516,561,615,651,共6个不同的三位数.
(1)大于400的三位数的个数为4,所以P=46=23.
(2)三位数为偶数的有156,516,共2个,
所以相应的概率为P=26=13.
18.(本小题满分12分)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:
(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
解:将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的.
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个,所以P(A)=615=25.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8个,所以P(B)=815.
19.(本小题满分12分)某河流上的一座水力发电站,每年6月份的发电量y(单位:万千瓦时)与该河上游在6月份的降雨量x(单位:mm)有关.据统计,当x=70时,y=460;x每增加10,y增加5.已知近20年x的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表:
近20年6月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率 0.05  0.2   0.1
(2)将频率视为概率,试估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
解:(1)在所给数据中,降雨量为110 mm的有3个,为160 mm的有7个,为200 mm的有3个.故近20年6月份降雨量频率分布表为:
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率 0.05 0.15 0.2 0.35 0.15 0.1
(2)由已知可得y=0.5x+425,
记“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”为事件A,
则P(A)=P(y<490或y>530)
=P(x<130或x>210)
=P(x=70)+P(x=110)+P(x=220)
=0.05+0.15+0.1
=0.3.
因此估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为0.3.
20.(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
 参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,
故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=1545=13.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=215.
21.(本小题满分12分)求解下列各题:
(1)在区间[0,4]上随机取两个整数m,n,求关于x的一元二次方程x2-nx+m=0有实数根的概率P(A);
(2)在区间[0,4]上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-nx+m=0有实数根的概率P(B).
解:方程x2-nx+m=0有实数根,
则Δ=n-4m≥0,
(1)由于m,n∈[0,4],且m,n是整数,
因此列举可得m,n可能的取值共有25组.
又满足n-4m≥0的m,n的取值有m=0n=0,m=0n=1,m=0n=2,m=0n=3,m=0n=4,m=1n=4,共6组.
因此,原方程有实数根的概率为P(A)=625.
(2)由于0≤m≤40≤n≤4对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为16,
而n-4m≥0(m,n∈[0,4])表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为12×1×4=2.
因此,原方程有实数根的概率为P(B)=S阴影S正方形=18.
22.(本小题满分12分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示(单位:min):
 组别 候车时间 人数
一 [0,5) 2
二 [5,10) 6
三 [10,15) 4
四 [15,20) 2
五 [20,25] 1
(1)求这15名乘客的平均候车时间;
(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数;
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人做进一步调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率.
解:(1)115×(2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1)=115×157.5=10.5,
故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.
(2)由频率估计概率,可知侯车时间少于10 min的概率为2+615=815,
故这60名乘客中候车时间少于10 min的人数约为60×815=32.
(3)记第三组的4名乘客为a1,a2,a3,a4,第四组的2名乘客为b1,b2.从6人中选2人的所有可能情况为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15种,其中2人恰好来自不同组的情况为(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),共8种,
故所求概率为815. 文章
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