2018北师大版高中数学必修三模拟方法——概率的应用巩固提升试题含解析

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2018北师大版高中数学必修三模拟方法——概率的应用巩固提升试题含解析

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章 来源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM  [A 基础达标]
1.已知集合A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},在集合A中任取一个元素x,则事件“x∈A∩B”的概率为(  )
A.16          B.13
C.23   D.45
解析:选A.A∩B={x|2<x<3},
因为集合A表示的区间长度为5-(-1)=6,集合A∩B表示的区间长度为3-2=1,所以事件“x∈A∩B”的概率为16,故选A.
2.有四个游戏盘,如图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望中奖机会大,他应当选择的游戏盘为(  )
 
解析:选A.对A,P(A)=38;对B,P(B)=13;对C,P(C)=4-π4<14;对D,P(D)=1π,显然P(A)最大,因此应选游戏盘A.
3.如图所示,边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为(  )
A.43   B.83
C.23   D.无法计算
解析:选B.设阴影区域的面积为S,依题意,得23=S2×2,
所以S=83.故选B.
4.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为(  )
A.13   B.23
C.12   D.34
解析:选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=12×43π×13=23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π=13,故点P到点O的距离大于1的概率为1-13=23.
5.已知A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,则它的长度小于或等于半径长度的概率为(  )
A.12   B.32
C.13   D.14
解析:选C.如图,当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=60°,由圆的对称性及几何概型得P=120°360°=13.故选C.
 
6.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约为910,那么该台每小时约有________分钟广告.
解析:这是一个与时间长度有关的几何概型,这个人看不到广告的概率为910,则看到广告的概率约为110,故60×110=6.
答案:6
7.水池的容积是20 m3,水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h,它们一昼夜(0~24 h)内随机开启,则水池不溢水的概率为________.
解析:如图所示,横坐标和纵坐标分别表示A,B两水龙头开启的时间,则阴影部分是满足不溢水的对应区域,因为正方形区域的面积为24×24,阴影部分的面积是12×20×20,所以所求的概率P=12×20×2024×24=2572.
答案:2572
8.已知方程x2+3x+p4+1=0,若p在[0,10]中随机取值,则方程有实数根的概率为________.
解析:因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,符合几何概型的条件,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10],长度为10,而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0,即9-4×1×p4+1≥0,得p≤5,所以对应区间[0,5],长度为5,所以所求概率为510=12.
答案:12
9.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任一条平行线相碰的概率.
解:设事件A:“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置,由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图,这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0,a],只有当r<|OM|≤a时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a].
所以P(A)=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.
 
10.小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学,小强每天早上六点至七点之间到达小明家,约小明一同前往学校,问小强能见到小明的概率是多少?
解:如图所示,方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间,纵坐标y表示小明离开家的时间,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(x,y)|6≤x≤7,6.5≤y≤7.5},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=1.事件A表示“小强能见到小明”,所构成的区域为A={(x,y)|6≤x≤7,6.5≤y≤7.5,y≥x},如图中阴影部分所示,面积为SA=1-12×12×12=78.所以P(A)=SASΩ=78,即小强能见到小明的概率是78.
[B 能力提升]
11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“|x-y|≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则(  )
A.p1<p2<p3   B.p2<p3<p1
C.p3<p1<p2   D.p3<p2<p1
解析:选B.x,y∈[0,1],事件“x+y≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S1,事件“|x-y|≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S2,事件“xy≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知,阴影部分的面积S2<S3<S1,正方形的面积为1×1=1.根据几何概型的概率计算公式,可得p2<p3<p1.
 
12.在区间[-2,3]上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d∈2,455的概率是________.
解析:如图.
 
直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d=AB∈2,455,则半弦长BC∈22,255,
因为圆的半径等于1,所以圆心到直线ax+y+1=0的距离OC∈55,22,即55≤1a2+1≤22,得-2≤a≤-1,或1≤a≤2.
又a∈[-2,3],所以在区间[-2,3]上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d∈2,455的概率是[-1-(-2)]+(2-1)3-(-2)=25.
答案:25
13.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
事件A包含9个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)=912=34.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为P(A)=3×2-12×223×2=23.
14.(选做题)如图,已知AB是半圆O的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个等分点.
 
(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率;
(2)在半圆内任取一点S,求△SAB的面积大于82的概率.
解:(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:△ABM,△ABN,△ABP,△AMN,△AMP,△ANP,△BMN,△BMP,△BNP,△MNP,其中是直角三角形的只有△ABM,△ABN,△ABP 3个,所以组成直角三角形的概率为310.
(2)连接MP,ON,OM,OP,取线段MP的中点D,则OD⊥MP,
易求得OD=22,
 
当S点在线段MP上时,
S△ABS=12×22×8=82,
所以只有当S点落在阴影部分(不在MP上)时,△SAB面积才能大于82,而S阴影=S扇形MOP-S△OMP=12×π2×42-12×42=4π-8,所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于82的概率为4π-88π=π-22π. 文
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