2018北师大版高中数学必修五第1章 2-2.2 第2课时 等差数列达标练习习题含解析

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2018北师大版高中数学必修五第1章 2-2.2 第2课时 等差数列达标练习习题含解析

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om   [A 基础达标]
1.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是(  )
A.a21和a22        B.a22和a23
C.a23和a24  D.a24和a25
解析:选C.因为an+1=an-23,所以数列{an}是等差数列,且公差为-23,
所以an=15+(n-1)·-23.因为a23=13,a24=-13,所以a23a24<0.
2.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使Sn取得最小值的正整数n的值是(  )
A.4或5  B.5或6
C.6或7  D.7或8
解析:选C.依题意得a5<0,a9>0,且a5+a9=0⇒2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故前6项与前7项的和相等,且最小.
3.已知数列{an}的通项公式an=26-2n,则使其前n项和Sn最大的n的值为(  )
A.11或12  B.12
C.13  D.12或13
解析:选D.因为an=26-2n,所以an-an-1=-2,所以数列{an}为等差数列.又a1=24,d=-2,所以Sn=24n+n(n-1)2×(-2)=-n2+25n=-n-2522+6254.又n∈N+,所以当n=12或13时,Sn最大.
4.数列{an}满足:a1=0,an+1=an-33an+1(n∈N+),则a2 018=(  )
A.0  B.-3
C.3  D.32
解析:选B.由a1=0,an+1=an-33an+1,令n=1,得a2=a1-33a1+1=-3;令n=2,得a3=a2-33a2+1=3;令n=3,得a4=a3-33a3+1=0=a1,所以数列{an}是周期为3的数列,所以a2 018=a3×672+2=a2=-3,故选B.
5.已知数列{an}:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},则b2 018=(  )
A.0  B.1
C.2  D.3
解析:选B.将数列1,1,2,3,5,8,13,…的每一项除以4所得的余数分别为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,即新数列{bn}是周期为6的周期数列,所以b2 018=b336×6+2=b2=1.故选B.
6.已知数列{an}满足an+1=an-57,且a1=5,设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的序号n的值为________.
解析:由题意可知数列{an}的首项为5,公差为-57的等差数列,所以an=5-57(n-1)=40-5n7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以Sn取最大值时,n=7或8.
答案:7或8
7.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.
解析:法一:S9=S4,即9(a1+a9)2=4(a1+a4)2,
所以9a5=2(a1+a4),
即9(1+4d)=2(2+3d),
所以d=-16,
由1-16(k-1)+1+3·-16=0,得k=10.
法二:S9=S4,所以a5+a6+a7+a8+a9=0,所以a7=0,从而a4+a10=2a7=0,所以k=10.
答案:10
8.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n=________.
解析:由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35.
由a2+a4+a6=99,得3a4=99,即a4=33.
所以d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n,则a1=39.
所以Sn=n(a1+an)2=n(39+41-2n)2=-n2+40n=-(n-20)2+400.
所以当n=20时,Sn取最大值.
答案:20
9.在等差数列{an}中,a3=2,3a2+2a7=0,其前n项和为Sn.求:
(1)等差数列{an}的通项公式;
(2)Sn,n为何值时,Sn最大.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
根据题意,得a1+2d=2,5a1+15d=0,
解得a1=6,d=-2.
所以数列{an}的通项公式为an=-2n+8.
(2)由第一问可知Sn=6n+n(n-1)2·(-2)=-n2+7n=-n-722+494.
因为S3=-9+21=12,S4=-16+28=12,
所以当n=3或n=4时,Sn最大.
10.已知数列{an}的通项公式an=31-3n,求数列{|an|}的前n项和Hn.
解:设{an}的前n项和为Sn.
由an=31-3n可得Sn=-32n2+592n.
由an≥0,解出n≤313≈10.3.
当n≤10时,Hn=Sn=-32n2+592n;
当n≥11时,Hn=2S10-Sn=32n2-592n+290.
所以Hn=-32n2+592n,n≤10,32n2-592n+290,n≥11.
[B 能力提升]
11.设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0,则前n项和Sn中最大的是(  )
A.S10  B.S11
C.S20  D.S21
解析:选C.设等差数列{an}的公差为d,由3a8=5a13,即3(a1+7d)=5(a1+12d),得a1=-392d>0,所以d<0,则an=a1+(n-1)d=-392d+(n-1)d.由an<0,得n>412=20.5,即从第21项开始为负数,故S20最大.
12.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为________.
解析:由题意可得an+an+1=5,所以an+1+an+2=5.所以an+2-an=0.因为a1=2,所以a2=5-a1=3.所以当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.所以a18=3.
答案:3
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)问前几项的和最大,并说明理由.
解:(1)因为a3=12,所以a1=12-2d,
因为S12>0,S13<0,
所以12a1+66d>0,13a1+78d<0,即24+7d>0,3+d<0,
所以-247<d<-3.
(2)因为S12>0,S13<0,
所以a1+a12>0,a1+a13<0,所以a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,
又由第一问知d<0.
所以数列前6项为正,从第7项起为负.
所以数列前6项和最大.
14.(选做题)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,
(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
解:(1)因为a16+a17+a18=a9=-18,
所以a17=-6.又a9=-18,所以d=a17-a917-9=32.
首项a1=a9-8d=-30.所以an=32n-632.
若前n项和Sn最小,则an≤0,an+1≥0,
即3n2-632≤0,32(n+1)-632≥0,所以n=20或21.
这表明:当n=20或21时,Sn取最小值.最小值为S20=S21=-315.
(2)由an=32n-632≤0⇒n≤21.
所以当n≤21时,Tn=-Sn=34(41n-n2),
当n>21时,Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an
=Sn-2S21=34(n2-41n)+630.
故Tn=34(41n-n2),n≤21,34(n2-41n)+630,n>21. 文 章来源
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