河北四县2017-2018高二数学下学期期末联考试题(理科附答案)

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河北四县2017-2018高二数学下学期期末联考试题(理科附答案)

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2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学理科试题
  本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题  共60分)
一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合 , ,则   
A.  B.  C.  D.
2.复数 的实部为    
A.             B.               C.              D. 
3. 的展开式中 的系数为     
A.                B.               C.            D.      
4.《九章算术》中,将底面是直角三角形的 直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为 
A.         B.        C.       D.
5若实数 满足条件 ,则 的最小值为 
A.                  B.               C.                 D. 
6.在等比数列 中, ,公比为 ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于
A.                B.                C.                 D.
7.直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆 上,则 面积的取值范围是 
A.  B.  C.   D.
8.函数 的部分图象可能是    

A.      B.
 C.  D.
9.抛物线 的焦点为 ,点 , 为抛物线上一点,且 不在直线 上,则 周长的最小值为 
A.               B.                  C.                D.
10.正四棱锥的顶点都在同一球面 上,若该棱锥的高和底面边长均为 ,则该球的体积为
A.               B.               C.            D. 
11.在长方体 中, , ,则异面直线 与 所成角的余弦值为
A.   B.  C.  D.
12.已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则
A.   B.  C.    D.
第Ⅱ卷(非选择题  共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线 在点 处的切线方程为__________.
14.已知向量 , , .若 ,则 __________. 
15.学校艺术节对同一类的 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是 或 作品获得 一等奖”
乙说:“ 作品获得一等奖”
丙说:“ 两项作品未获得一等 奖”
丁说:“是 作品获得一等奖”
    若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是___________.
16.如图在 中, , ,点 是  外一点, , 则平面四边形 面积的最大值是___________.

 

 

三、解答题:本大题共6小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分) 记 为等差数列 的前 项和,已知 , .
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)求 ,并求 的最小值.

 

 

 


[来源:学|科|网]

18.(本小题满分12分)在如图所示的六面体中,面 是边长为 的正方形,面 是直角梯形, , , .
(Ⅰ)求证: //平面 ;
(Ⅱ)若二面角 为 ,求直线 和平面 所成角的正弦值.

 

 


19. (本小题满分12分)为迎接 月 日的“全民健身日”,某大学学生会从全体男生中随机抽取 名男生参加 米中长跑测试,经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎,小数点的后一位数字为叶),如图,若跑步时间不高于 秒,则称为“好体能”.
 
(Ⅰ) 写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)要从这  人中随机选取 人,求至少有 人是“好体能”的概率;
(Ⅲ)以这  人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据,若从该校男生(人数众多)任取 人,记 表示抽到“好体能”学生的人数,求 的分布列及数学期望.

 


(20)(本小题满分12分) 设椭圆  的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 , .
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线 与椭圆交于 两点, 与直线  交于点M,且点P,M均在第四象限.若 的面积是 面积的2倍,求k的值.

 

 


21.已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最大值;
(Ⅱ)已知 ,求证 .

 

 

22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线 :  ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 求圆心 的极坐标;
(Ⅱ)设点 的直角坐标为 ,直线 与圆 的交点为 ,求 的值.

 

 


23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知关于 的不等式
  (Ⅰ)当 时,求不等式解集;
  (Ⅱ)若不等式有解,求  的范围.
 
2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学理科答案
选择题  CADDB  CBBCA  AD
填空题  
17(I)设 的公差为d,由题意得 .……………………………………………………………… 3分
由 得d=2.   
所以 的通项公式为 .………………………………………………………………………………… 6分
(II)由(1)得 .………………………………………………………………………9分
所以当n=4时, 取得最小值,最小值为−16.………………………………………………………………………12分
18证明:(I)连接 相交于点 ,取 的中点为 ,连接 .
 是正方形, 是 的中点, ,
又因为 ,所以 且 ,
所以四边形 是平行四边形,……………………………………………………………………… ………… 3分
 ,又因为 平面 , 平面
 平面 …………………………………………………………………5分
(II) 是正方形, 是直角梯形, ,
 , 平面 ,同理可得 平面 .
又 平面 ,所以平面  平面 ,
又因为二面角 为 ,
所以 , , ,由余弦定理得 ,
所以 ,又因为 平面 ,
 ,所以 平面 ,…………………………………………………7分
以 为坐标原点, 为 轴、 为 轴、 为 轴建立空间直角坐标系.
则 ,…………………  …………………8分
所以 ,设平面 的一个法向量为 ,
则 即 令 ,则 ,
所以 ………………………………………………………11分
设直线 和平面 所成角为 ,
则 ………………………………………12分
19解: (I)这组数据的众数和中位数分别是 ;………………………………………………………………3分
(II)设求至少有 人是“好体能”的事件为A,则事件A包含得基本事件个数为;
   总的基本事件个数为 ,  …………………………………………7分
(Ⅲ)  的可能取值为
由于该校男生人数众多,故 近似服从二项分布  …………………………………………………………9分
 , , ,
 的分布列为
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

故 的数学期望   ………………………………………………………………………1 2分
20(I)解:设椭圆的焦距为2c,由已知得 ,又由 ,可得 
由 ,从而 .
所以,椭圆的方程为 .     …………………………………………………………………………5分
(II)解:设点P的坐标为 ,点M的坐标为  ,由题意, ,
点 的坐标为  由 的面积是 面积的2倍,可得 ,
从而 ,即 .……………………………………………………………………………6分
易知直线 的方程为 ,由方程组 
消去y,可得 .
由方程组 消去 ,可得 .  …………………………………………………………9分
由 , 可得 ,
两边平方,整理得 ,解得 ,或 .
当 时, ,不合题意,舍去;
当 时, , ,符合题意.
所以, 的值为 .  ………………………………………………………………………………12分
21解:(I)因为 ,
    …………………………………………………………2分
当 时 ;当 时 ,
则 在 单调递增,在 单调递减. 所以 的最大值为 . …………………………………………………………………5分
(II)由 得, ,………7分
则 ,又因为 ,有 ,
构造函数 ………………………………………9分
则 ,
当 时, ,可得 在 单调递增,
有 ,   ……………………………………………………11分
所以有 .………………………………………12分
22解:(I)由题意可知圆的直角坐标系方程为 ,
所以圆心的极坐标为 .  ……………………………………………4分
(II)因为圆的直角坐标系方程为 ,直线方程为 ,
得到 所以 . ………………………………………10分
23解:(I)当 时,则
所以
即不等式解集为 . ………………………………………………5分
(II)令 ,由题意可知;
 
又因为
所以 ,即 .  …………………………………………10分


 


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