河北四县2017-2018高二数学下学期期末联考试题(文科含答案)

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河北四县2017-2018高二数学下学期期末联考试题(文科含答案)

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文 章来
源莲山 课
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2017—2018学年第二学期期末高二联考
           数学文科试题            
本试卷共150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分
1.设全集 ,则 等于 (  )
A.      B.       C.    D. 
2已知复数 满足 ,则 ( )
(A)        (B)       (C)         (D)
3. 设 ,则“ ”是“ ”的(    )
A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 函数 的零点所在的一个区间是(    )
A.      B.      C.     D. 
5.若x,y 满足 ,则 的最大值为(    )
A.     B.3            C.     D.4
6 已知 ,则
A           B            C           D
7已知函数 ,下列结论错误的是(    )
 (A) 的最小正周期为         (B) 在区间 上是增函数       
(C) 的图象关于点 对称  (D) 的图象关于直线 对称
8.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为(    )
A.    B.    C.   D.
                 
9 上图中的程序框图表示求三个实数 中最大数的算法,那么在空白的判断框中,应该填入 
(A)     (B)      (C)          (D)
10边长为 的两个等边 , 所在的平面互相垂直,则四面体 的外接球的表面 积为
A           B         C        D   
11. 已知抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为 ,则该双曲线的离心率为(   )
A.       B.      C.        D.
12已知方程 有 个不同的实数根,则实数 的取值范围是( )
(A)      (B)      (C)      (D)
第II卷
二 、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
1 3.某单位有 名职工,现采用系统抽样方法抽取 人做问卷调查,将 人按 ,
… 随机编号,则抽取的21人中,编号落入区间 的人数为     
14在 中, , 是边 的中点,则        .
15.若点   在直线 上,则 的最小值是       .
16在 中,角 所对的边分别为 , ,则 
三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小 题满分12 分)已知数列 是等比数列,其前n项和为 ,满足 , 。
(I)求数列 的通项公式;(II)是否存在正整数n,使得 >2016?若存在,求出符合条件的n的最小值;若不存在,说明理由。

 


18.(本小题满分 12分)
某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况,随 机抽取了60名学生进行统计.得到如下样本频数分布表:
月消费金额(单位:元)           
人数[ 30 6 9 10 3 2
记月消费金额不低于300元为“高消费”,已知在样本中随机抽取1人,抽到是男生“高消费”的概率为 .
(Ⅰ)从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人,求至少有1人月消费金额不低于500元的概率;
(Ⅱ)请将下面的 列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关,说明理由.
 高消 费 非高消费 合计
男生   
女生  25 
合计   60
下面的临界值表仅供参考:
P( ) 0.10 0.05 0.025 0.0 10 0.005
  2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
(参考公式: ,其中 )

 

 


19.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,
DC=2AB=2a,DA= a,E为BC中点.
(1)求证:平面PBC⊥平面PDE;
(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,找出具体位置,并进行证明:若不存在,请分析说明理由.

 

 

 

20.(本小题满分12 分)已知椭圆C: 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且|AB|=2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M , N 两点.是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点D(2,0)?若 存在,求出点P的横坐标;若不存在,说明理由。

 

 

21.(本小题满分12 分)已知函数f (x) =
(Ⅰ)求曲线 f (x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f (x)的零点和极 值;
(Ⅲ)若对任意 ,都有 成立,求实数 的最小值。
[来源:学科网]


请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)
在直角坐标系xOy中,直线 的参数方程为 ( 为参数),若以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 的极坐标方程为 ,设 是圆 上任一点,连结 并延长到 ,使 .
(Ⅰ) 求点 轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ) 若直线 与点 轨迹相交于 两点,点 的直角坐标为 ,求 的值.
23.(本小题满分10分)设函数 
   (Ⅰ)若函数f(x)有最大值,求a的取值范围;
   (Ⅱ)若a=1,求不等式f(x)>|2x-3|的解集
 
 
2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学文科答案
A BDBC  DDADC  CA(13) ;     (14) ;     (15)8;    (16) .
17.解:(Ⅰ) 设 数列 的公比为 ,
因为 ,所以 .      因为 所以                   
   又因为 ,            所以 ,                                              
所以 (或写成 )                  ..............................6
 (Ⅱ)因为 .                
令 , 即 ,整理得 .  
当 为奇数时,原不等式等价于 ,解得 ,
所以满足 的正整数 的最小值为11.                ...................12
18解:(Ⅰ)样本中,月消费金额在 的3人分别记为 , , . 
月消费金额在大于或等于 的2人分别记为 , . 1分
从月消费金额不低于400元的5个中,随机选取两个,其所有的基本事件如下:
 , , , , , , , , , ,共10个. 3分
记“至少有1个月消费金额不低于500元”为事件
则事件 包含的基本事件有 , , , , , , ,共7个. 5分
所以至少有1个月消费金额不低于500元的概率为 . 6分
(Ⅱ)依题意,样本中男生“高消费”人数 . 7分
 高消费 非高消费 合计
男生 10 20[ 30
女生 5 25 30
合计 15 45 60
9分
 
 .
所以没有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关.  12分
19解:证明:(1)连结           
所以         为 中点       
所以         又因为 平面 ,        所以 
因为                所以 平面  
 因为 平面  ,所以平面 平面 ………………6分
(2)当点 位于 三分之一分点(靠近 点)时,  平面
连结 交于 点
   ,所以 相似于
  又因为 ,所以
 从而在 中,       而         所以             
 而 平面    平面    所以 平面    ……………12分
20 解:(Ⅰ)由已知 ,得知 ,
 又因为离心率为 ,所以 .                             
 因为 ,所 以 ,                                 
 所以椭圆 的标准方程为 .                            ……………………….5分

(Ⅱ)解法一:假设存在.

 由已知可得 ,
所以 的直线方程为 ,                        
 的直线方程为 ,
   令 ,分别可得 , ,      
   所以 ,                              
   线段  的中点 ,                              
   若以 为直径的圆经过点D(2,0),
则 ,                          
因为点 在椭圆上,所以 ,代入化简得 ,
所以 , 而 , 矛盾,
所以这样的点 不存在.                                      ……………………….12分
(还可以以 为直径,   推矛盾)
21.解:(Ⅰ)因为 ,                         
所以 .                                              
因为 ,所以曲线 在 处的切线方程为 .… …………..3分
(Ⅱ)令 ,解得 ,                     
所以 的零点为 .                                  
由 解得 ,
则 及 的情况如下:
 
 

 
 

 
 
极小值
 


所以函数 在  时,取得极小值     ……………………….8分
(Ⅲ)法一:
当 时, .
当 时, .                                 
若 ,由(Ⅱ)可知 的最小值为 , 的最大值为 ,
所以“对任意 ,有 恒成立”等价于
即 ,   解得 .      所以 的最小值为1.   ….12分
法二:当 时, .         当 时, .
且由(Ⅱ)可知, 的最小值为 ,                 
若 ,令 ,则
而 ,不符合要求,
所以 .     当 时, ,
所以 ,即 满足要求,
综上, 的最小值为1.                      ……….12分
22. 解:(Ⅰ)圆 的直角坐标方程为 ,设 ,则 ,

∴ 这就是所求的直角坐标方程……………5分
(Ⅱ)把 代入 ,即代入
得 ,即 
令 对应参数分别为 ,则 ,
所以 ………………10分                    
 23.解:(1)
       ∵f(x)有最大值,∴1-a≥0且1+a≤0
解得a≤-1.最大值为f(2)=2       ……………5分
   (2)即|x-2|-|2x-3|+x>0.
 设g(x)= |x-2|-|2x-3|+x= ,
 由g(x)>0解得x> .原不等式的解集为{x|x> }.    ………………………10分

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