2017-2018高二数学下学期期末试卷(文科含答案广东汕头金山中学)

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2017-2018高二数学下学期期末试卷(文科含答案广东汕头金山中学)

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷
命题人:高三文科数学备课组
—、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 (   )
A.  B. C.  D.
2.若复数 满足 ,则 (    )
A.   B.  C. D.
3.已知 为锐角, ,则 (    )
A. B. C. D.
4.设命题 : , ,命题 : , ,则下列命题中是真命题的是(    )
A.  B.  C.     D.
5.已知变量 , 满足 则 的最大值为(   )
A.      B.     C.     D.
6.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 的大正方形,
直角三角形中较小的锐角 .若在该大正方形区域内随机地取
一点,则该点落在中间小正方形内的概率是(    )
A.   B. C. D.
7.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号同学的成绩依次为A1,A2,…,A16,右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图,那么该算法流程图输出的结果是(   )
A.6  B.10
C.91  D.92

8. 已知等比数列{an},且a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为(   )
A. 4 B. 6 C. 8 D. -9
9. 设曲线 上任一点 处切线斜率为 ,则函数
 的部分图象可以为(    )
 
10.将函数 的图象向左平移 个单位,所得图象对
应的函数恰为奇函数,则 的为最小值为(    )
A.    B.   C.   D.
11.已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.4π B.12π
C. D.

12. 已知函数 ,若存在实数 使得不等式
 成立,则实数 的取值范围为(    )
A.   B. 
C.  D. 
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分a
13.已知向量 , ,且 ∥ ,则实数 的值是___.
14.若 ,则 =________.
15. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取得最小值时,过点P引圆
 的切线,则此切线段的长度为_______.
16.已知 分别是椭圆  的左、右焦点, 是椭圆上一点(异于
左、右顶点),过点 作 的角平分线交 轴于点 ,若 ,
则该椭圆的离心率为.
三、解答题:本大题共6小  题  ,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17. (本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
(1)求角C的大小;
(2)若bsin(π﹣A)=acosB,且 ,求△ABC的面积.

 

18.(本小题满分12分)如图,已知多面体 的底面 是边长为 的菱形, , ,且 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2) 若 ,求三棱锥 的体积
19.(本小题满分12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量 (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量 (百斤)与使用某种液体肥料 (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合 与 的关系?请计算相关系数 并加以说明(精确到0.01).(若 ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量 限制,并有如下关系:
周光照量 (单位:小时)
 
 
 

光照控制仪最多可运行台数 3 2 1
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周总利润的平均值.
附:相关系数公式 ,参考数据 , .
20. (本小题满分12分)已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .(1)求 的方程;
(2)是否存在直线 与 相交于 两点,且满足:① 与 ( 为坐标原点)的斜率之和为2;②直线 与圆 相切,若存在,求出 的方程;若不存在,请说明理由.
21(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1(a∈R)
(1)求函数h(x)=f(x) g(x)的极值;
(2)当a=e时,是否存在实数k,m,使得不等式g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立?若存
在,请求实数k,m的值;若不存在,请说明理由.
请考生在22〜23三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 ( 为参数, 为倾斜角),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和参数方程;
(2)设 与曲线 交于 , 两点,求线段 的取值范围.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).
(1)当a=1时,解不等式f(x)>3;
(2)不等式 在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案
一、选择题
1-5   DCABB    6-10  ABADB   11-12 DA
二、填空
13.             14. 15.  16 .
三、 解答题
17.解:(1)在△ABC中,由  ,
由余弦定理:a2+b2﹣c2=2abcosC,
可得:2  acsinB=2abcosC.
由正弦定理:2  sinCsinB=sinBcosC
∵0<B<π,sinB≠0,
∴2  sinC=cosC,
即tanC=  ,
∵0<C<π,
∴C=  .
(2)由bsin(π﹣A)=acosB,
∴sinBsinA=sinAcosB,
∵0<A<π,sinA≠0,
∴sinB=cosB,
∴  ,
根据正弦定理 ,可得  ,
解得c=1

18.(1)证明:连接 ,交 于点 ,设 中点为 ,
连接 , .
因为 , 分别为 , 的中点,
所以 ,且 ,
因为 ,且 ,
所以 ,且 .………………1分
所以四边形 为平行四边形,所以 ,即 .…………2分
因为 平面 , 平面 ,所以 .
因为 是菱形,所以 .
因为 ,所以 平面 .……………4分
因为 ,所以 平面 .………………5分
因为 平面 ,所以平面 平面 .……6分
(2)解法1:因为 ,所以△ 是等边三角形,所以 .……7分
又因为 平面 , 平面 ,所以 .
所以 .………8分
因为 面 ,所以 是三棱锥 的高.……9分
因为 ,…………10分
所以 ……11分 .…12分
解法2:因为底面 为菱形,且 ,所以△ 为等边三角形.………7分
取 的中点 ,连 ,则 ,且 .…8分
因为 平面 ,所以 ,又 ,
所以  平面 ,所以 是三棱锥 的高.……………9分
因为 .……10分
所以三棱锥 的体积 …………11分
 .………………12分
19.解:(1)由已知数据可得 , .………1分
因为 ……2分
 ……………………3分
 …………………4分
所以相关系数 .………………5分
因为 ,所以可用线性回归模型拟合 与 的关系.…………6分
(2)记商家周总利润为 元,由条件可得在过去50周里:
当X>70时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,
周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元.……………………8分
当50≤X≤70时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,
周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元.………………………9分
当X<50时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,
周总利润Y=3×3000=9000元.………………10分
所以过去50周周总利润的平均值 元,
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.………12分
20. 解:(1)由已知得 ,
解得 ,∴椭圆 的方程为 ;
(2)把 代入 的方程得:
 ,
设 ,则 ,①
由已知得 ,
∴ ,②
把①代入②得 ,
即 ,③
又 ,
由 ,得 或 ,
由直线 与圆 相切,则 ④
③④联立得 (舍去)或 ,∴ ,
∴直线 的方程为 .
21.解:(1)h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2alnx,x>0
所以  h′(x)= 
当a≤0,h′(x)>0,此时h(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,
当a>0时,由h′(x)>0,即x2﹣a>0,解得:a>  或x<﹣  ,(舍去)
由h′(x)<0,即x2﹣a<0,解得:0<x<  ,
∴h(x)在(0,  )单调递减,在(  ,+∞)单调递增,
∴h(x)的极小值为h(  )=a﹣2aln  =a﹣alna,无极大值;

(2)当a=e时,由(1)知 
 h(  )=h(  )=e﹣elne=0
∴f(x)﹣g(x)≥0, 也即  f(x)≥g(x),当且仅当x=  时,取等号;
以( 为公共切点,
 f′(  )=g′(  )
所以y=f(x)与y=g(x)有公切线,切线方程y=2 x+1﹣e,
构造函数  ,显然
 
构造函数  
 
由  解得  ,由  解得 
所以 在 上递减,在 上递增
 ,即有
从而   ,此时
22. 解:(Ⅰ)因为曲线 的极坐标方程为 ,
所以曲线 的普通方程为 ,
即 ,
所以曲线 的参数方程为 ( 为参数).
(Ⅱ)把代入 代入 ,
并整理得 ,
设 , 对应的参数分别为 , ,
所以 , ,
所以 
   ,
设 , ,
∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴ 的取值范围为 .

23. 解:(Ⅰ) 解得
 解得
 解得 …………………3分
不等式的解集为 ………………5分
(Ⅱ)  ;
  ;
  ;
  的最小值为 ;………………8分
则 ,解得 或 .………………10分

2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案
一、选择题
1-5   DCABB    6-10  ABADB   11-12 DA
二、填空题
13.             14. 15.  16 .
三、 解答题
17.解:(1)在△ABC中,由  ,
由余弦定理:a2+b2﹣c2=2abcosC,
可得:2  acsinB=2abcosC.
由正弦定理:2  sinCsinB=sinBcosC
∵0<B<π,sinB≠0,
∴2  sinC=cosC,
即tanC=  ,
∵0<C<π,
∴C=  .
(2)由bsin(π﹣A)=acosB,
∴sinBsinA=sinAcosB,
∵0<A<π,sinA≠0,
∴sinB=cosB,
∴  ,
根据正弦定理 ,可得  ,
解得c=1

18.(1)证明:连接 ,交 于点 ,设 中点为 ,
连接 , .
因为 , 分别为 , 的中点,
所以 ,且 ,
因为 ,且 ,
所以 ,且 .………………1分
所以四边形 为平行四边形,所以 ,即 .…………2分
因为 平面 , 平面 ,所以 .
因为 是菱形,所以 .
因为 ,所以 平面 .……………4分
因为 ,所以 平面 .………………5分
因为 平面 ,所以平面 平面 .……6分
(2)解法1:因为 ,所以△ 是等边三角形,所以 .……7分
又因为 平面 , 平面 ,所以 .
所以 .………8分
因为 面 ,所以 是三棱锥 的高.……9分
因为 ,…………10分
所以 ……11分 .…12分
解法2:因为底面 为菱形,且 ,所以△ 为等边三角形.………7分
取 的中点 ,连 ,则 ,且 .…8分
因为 平面 ,所以 ,又 ,
所以  平面 ,所以 是三棱锥 的高.……………9分
因为 .……10分
所以三棱锥 的体积 …………11分
 .………………12分
19.解:(1)由已知数据可得 , .………1分
因为 ……2分
 ……………………3分
 …………………4分
所以相关系数 .………………5分
因为 ,所以可用线性回归模型拟合 与 的关系.…………6分
(2)记商家周总利润为 元,由条件可得在过去50周里:
当X>70时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,
周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元.……………………8分
当50≤X≤70时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,
周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元.………………………9分
当X<50时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,
周总利润Y=3×3000=9000元.………………10分
所以过去50周周总利润的平均值 元,
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.………12分
20. 解:(1)由已知得 ,
解得 ,∴椭圆 的方程为 ;
(2)把 代入 的方程得:
 ,
设 ,则 ,①
由已知得 ,
∴ ,②
把①代入②得 ,
即 ,③
又 ,
由 ,得 或 ,
由直线 与圆 相切,则 ④
③④联立得 (舍去)或 ,∴ ,
∴直线 的方程为 .
21.解:(1)h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2alnx,x>0
所以  h′(x)= 
当a≤0,h′(x)>0,此时h(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,
当a>0时,由h′(x)>0,即x2﹣a>0,解得:a>  或x<﹣  ,(舍去)
由h′(x)<0,即x2﹣a<0,解得:0<x<  ,
∴h(x)在(0,  )单调递减,在(  ,+∞)单调递增,
∴h(x)的极小值为h(  )=a﹣2aln  =a﹣alna,无极大值;

(2)当a=e时,由(1)知 
 h(  )=h(  )=e﹣elne=0
∴f(x)﹣g(x)≥0, 也即  f(x)≥g(x),当且仅当x=  时,取等号;
以( 为公共切点,
 f′(  )=g′(  )
所以y=f(x)与y=g(x)有公切线,切线方程y=2 x+1﹣e,
构造函数  ,显然
 
构造函数  
 
由  解得  ,由  解得 
所以 在 上递减,在 上递增
 ,即有
从而   ,此时
22. 解:(Ⅰ)因为曲线 的极坐标方程为 ,
所以曲线 的普通方程为 ,
即 ,
所以曲线 的参数方程为 ( 为参数).
(Ⅱ)把代入 代入 ,
并整理得 ,
设 , 对应的参数分别为 , ,
所以 , ,
所以 
   ,
设 , ,
∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴ 的取值范围为 .

23. 解:(Ⅰ) 解得
 解得
 解得 …………………3分
不等式的解集为 ………………5分
(Ⅱ)  ;
  ;
  ;
  的最小值为 ;………………8分
则 ,解得 或 .………………10分

 

 

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