山东师大附中2017-2018高二数学下学期期末试卷(理科附答案)

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山东师大附中2017-2018高二数学下学期期末试卷(理科附答案)

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山东师大附中2016级第一次模拟考试
数 学 试 题(理科)
 命题人  孙宁  审核人  王秀梅
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设 ,则
A.  B.  C.  D.
2.已知集合 , ,则
A.  B.   C.   D.
3.已知函数 ,则
A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数
4.设 满足约束条件 则目标函数 的最小值是
 A.  B.  C.  D.
5.函数 的最小正周期为
 A.  B.  C.  D.
6.设 ,则“ ”是“ ”的
 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,记下所抽取数字后放回,再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的概率为
 A.  B.  C.  D.
8. 展开式中 的系数为
 A.15 B.20 
 C.30  D.35
 
9.执行下面的程序框图,为使其输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
 A.5 B.4 
 C.3 D.2
 
10.记 为等差数列 的前 项和.若 , ,则数列 的公差为
 A.1 B.2 C.4  D.8
 
11.已知双曲线 ( )的离心率为 ,则点 到 的渐近线的距离为
 A.  B.  C.  D.
 
12.已知 是抛物线  的焦点, 是 上一点, 的延长线交 轴于点 .若 为 的中点,则
 A.4 B.6 C.8 D.10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数 的最大值为___________.
14.设等比数列 满足  a1 – a3 = –3,则前4项的和  = ___________.
15.已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为___________.
16.正方体 的棱长为1, 若 的平面 截正方体得到的截面是六边形,则这个六边形的的周长为___________.
 
三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必做题60分
17.(本题满分12分)△ 的内角 的对边分别为 ,已知 , ,求△ 的面积.
 
 
18.(本题满分12分)如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且 .
 
(Ⅰ)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角    A−PB−C的余弦值.
 
 
19.(本题满分12分)已知椭圆 的短轴长为 ,离心率为 ,点 , 是 上的动点, 为 的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若点 在 轴的右侧,以 为底边的等腰 的顶点 在 轴上,求四边形 面积的最小值.
20.(本题满分12分)近年电子商务蓬勃发展,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.70,对快递的满意率为0.60,商品和快递都满意的交易为80
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的 列联表,并回答能否有99%认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
 对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意 80  
对商品不满意   
合计   200
(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和快递都满意的次数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 .
附: ,
 
0.050 0.010 0.001
 
3.841 6.635 10.828

 
 
21.(本题满分12分)
设函数
(Ⅰ)求函数 的单调区间和极值;
(Ⅱ) 恒成立,求实数 的范围.
 
 
 
 
 
 
 
 (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中 中,曲线 的参数方程为 为参数, ). 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设 是曲线 上的一个动点,当 时,求点 到直线 的距离的最大值.
 
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数 , .
(Ⅰ)求不等式 的解集;
(Ⅱ)若方程 有三个实数根,求实数 的取值范围.
山东师大附中2016级第一次模拟考试
数 学 试 题(理科)
 命题人  孙宁  审核人  王秀梅
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设 ,则
A.  B.  C.  D.
【答案】D
2.已知集合 , ,则
A.  B.   C.   D.
【答案】D
3.已知函数 ,则
A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数
【答案】A
4.设 满足约束条件 则目标函数 的最小值是
 A.  B.  C.  D.
【答案】A
5.函数 的最小正周期为
 A.  B.  C.  D.
【答案】C
6.设 ,则“ ”是“ ”的
 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 
7.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,记下所抽取数字后放回,再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的概率为
 A.  B.  C.  D.
【答案】D
8. 展开式中 的系数为
 A.15 B.20 C.30  D.35
【答案】C 
9.执行下面的程序框图,为使其输出S的值小于91,则输入的正整数     N的最小值为
 A.5 B.4 
 C.3 D.2
【答案】D
10.记 为等差数列 的前 项和.若 , ,则数列 的公差为
 A.1 B.2 C.4  D.8
【答案】C
11.已知双曲线 ( )的离心率为 ,则点 到 的渐近线的距离为
 A.  B.  C.  D.
【答案】D
12.已知 是抛物线  的焦点, 是 上一点, 的延长线交 轴于点 .若 为 的中 点,则
 A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数 的最大值为___________.
【答案】
14.设等比数列 满足  a1 – a3 = –3,则前4项的和  = ___________.
【答案】
15.已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为___________.
【答案】
16.正方体 的棱长为1,平面 截正方体得到的截面是六边形,这个六边形的的周长为___________.
【答案】
三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必做题60分
17.(本题满分12分)△ 的内角 的对边分别为 ,已知 , ,求△ 的面积.
解析: 由正弦定理
 
 由余弦定理:
 
18.(本题满分12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且 .
 
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A−PB−C的余弦值.
【解析】
(1)由已知 ,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB//CD ,故AB⊥PD ,从而AB⊥平面PAD.
又AB  平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面 内作 ,垂足为 ,
由(1)可知, 平面 ,故 ,可得 平面 .
以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 .
 
由(1)及已知可得 , , , .
所以 , , , .
设 是平面 的法向量,则
 即
可取 .
设 是平面 的法向量,则
 即
可取 .
则 ,
所以二面角 的余弦值为 .
19.(本题满分12分)已知椭圆 的短轴长为 ,离心率为 ,点 , 是 上的动点, 为 的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若点 在 轴的右侧,以 为底边的等腰 的顶点 在 轴上,求四边形 面积的最小值.
(Ⅰ)依题意得 解得
∴椭圆 的方程是
(Ⅱ)设
设线段 中点为  ∵  ∴ 中点 ,直线 斜率为
由 是以 为底边的等腰三角形∴
∴直线 的垂直平分线方程为
令  得  ∵  ∴
由  ∴四边形 面积
当且仅当 即
20.(本题满分12分)近年电子商务蓬勃发展,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.70,对快递的满意率为0.60,商品和快递都满意的交易为80
(1)根据已知条件完成下面的 列联表,并回答能否有99%认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
 对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意 80  
对商品不满意   
合计   200
 
(2)若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和快递都满意的次数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 .
附:
 
0.050 0.010 0.001
 
3.841 6.635 10.828
 
【解析】试题分析:(1)由题意得n=200,再由满意率可求得a,b,c,d填入 列联表,算卡方与数据 对比。(2)由二项分布写出布列及期望。
试题解析;(1) 列联表:
 对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意 
 
 

对商品不满意 
 
 

合计 
 
 

 
   ,
由于 ,所以没有 的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.
(2)每次购物时,对商品和快递都满意的概率为 ,且 的取值可以是 , , , .
 ; ;
 ; .
 的分布列为:
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 
所以   .
 
21.(本题满分12分)
设函数
求函数 的单调区间和极值
 恒成立,求实数 的范围
解析:(1) ,
函数 的减区间为 ,增区间为
 
(2)
 ,
 
 ,
 (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中 中,曲线 的参数方程为 为参数, ). 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程
(2)设 是曲线 上的一个动点,当 时,求点 到直线 的距离的最大值;
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数 , .
(1)求不等式 的解集;
(2)若方程 有三个实数根,求实数 的取值范围.
(1)由 ,得 ,化成直角坐标方程,得 ,即直线 的方程为 , 为参数, )
消去参数得曲线C的普通方程为:
(2)依题意,设 ,则 到直线 的距离 ,当 ,即 时, ,故点 到直线 的距离的最大值为 .
23.(1)原不等式等价于 或 或 ,
得 或
∴不等式 的解集为 .
(2)由方程 可变形为 ,
令  ,作出图象如下:
 
于是由题意可得 .
 
 


 


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