第二章圆锥曲线与方程测试卷(含答案和解释)

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第二章圆锥曲线与方程测试卷(含答案和解释)

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章 来源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM

阶段质量检测(二)
一、选择题
1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(  )
A.(1,+∞)  B.(1,2)  C.12,1  D.(0,1)
2.已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x,则双曲线的离心率为(  )
A.53  B.43  C.54  D.32
3.抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为4,则P到坐标原点的距离为(  )
A.5  B.25  C.42  D.33
4.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为(  )
A.圆        B.椭圆 
C.双曲线    D.抛物线
5.设P是双曲线x2a2-y29=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=(  )
A.1或5      B.6      C.7      D.8
6.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于(  )
A.12或32    B.23或2
C.12或2        D.23或32
7.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=a24的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若 ,则双曲线的离心率为(  )
A.102     B.105    
C.10     D.2
8.已知双曲线x24-y212=1的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线上的一点,若|PF1|=5,则△PF1F2最大内角的余弦值为(  )
A.-110   B.110 
C.35        D.-35
9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )
A.x28+y22=1   B.x212+y26=1
C.x216+y24=1      D.x220+y25=1
 
11.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60 cm,灯深40 cm,则抛物线的标准方程可能是(  )
A.y2=254x    B.y2=454x
C.x2=-452y  D.x2=-454y
12.双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为(  )
A.y2-3x2=36  B.x2-3y2=36
C.3y2-x2=36  D.3x2-y2=36
二、填空
13.以双曲线x24-y212=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________.
14.设F1,F2为曲线C1:x26+y22=1的焦点,P是曲线C2:x23-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为________.
15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=45,则C的离心率e=________.
16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2-y23=1的右焦点F重合,抛物线的准线与x轴交于点K,点A在抛物线上且|AK|=2|AF|,则△AFK的面积为________.
三、解答题
17.椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
18.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若  ,求λ的值.
19.如图所示,F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A,B为两个顶点,
 
已知椭圆C上的点1,32到F1,F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P,Q两点,求△F1PQ的面积.
20.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为22.


 (1)求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线y=kx+m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.
22.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点, .
(1)求C2的方程;
(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.

答  案
1. 解析:选D 由x2+ky2=2,得x22+y22k=1,
又∵椭圆的焦点在y轴上,
∴2k>2,即0<k<1.
2. 解析:选A 由ba=43得b=43a,
∴c=a2+b2=a2+43a2=53a.
∴e=ca=53.
3. 解析:选B 抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,由P到焦点的距离为4知,P到准线的距离为4,故P的横坐标xP=2,y2P=16,|PO|=x2P+y2P=25.
4. 解析:选D 由题意得,点P到直线x=-2的距离与它到点(2,0)的距离相等,因此点P的轨迹是抛物线.
5. 解析:选C 双曲线x2a2-y29=1的一条渐近线方程为3x-2y=0,故a=2.又P是双曲线上一点,故||PF1|-|PF2||=4,而|PF1|=3,则|PF2|=7.
6. 解析:选A 设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k.若曲线C为椭圆,则2a=6k,2c=3k,∴e=12;若曲线C为双曲线,则2a=2k,2c=3k,∴e=32.
7. 解析:选A 设双曲线右焦点为M,∵OE⊥PF,∴在直角三角形OEF中,|EF|=c2-a24.
又 ,
∴E是PF的中点.∴|PF|=2c2-a24,
又O是FM的中点,
∴MP⊥FP,∴|PM|=a,
又|PF|-|PM|=2a,∴2c2-a24-a=2a,
∴离心率e=ca=102.
8. 解析:选B 由双曲线定义知|PF2|=|PF1|±2a.所以|PF2|=9或|PF2|=1<c-a=2(舍去).
又|F1F2|=8,所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2,
cos∠PF1F2=52+82-922×5×8=110.
9. 解析:选D 因为椭圆的离心率为32,所以e=ca=32,c2=34a2=a2-b2,所以b2=14a2,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得x2a2+x2b2=1,即x24b2+x2b2=5x24b2=1,所以x2=45b2,x=±25b,y2=45b2,y=±25b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为25b,25b,所以四边形的面积为4×25b×25b=165b2=16,所以b2=5,所以椭圆方程为x220+y25=1.
10.
 
11. 解析:选C 如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),从而有302=2p×40,即2p=452,所以所求抛物线方程为y2=452x.
虽然选项中没有y2=452x,但C中的2p=452符合题意.
12. 解析:选A 由4x2+y2=64得x216+y264=1,c2=64-16=48,
∴c=43,e=438=32.
∴双曲线中,c′=43,e′=23=c′a′.
∴a′=32c′=6,b′2=48-36=12.
∴双曲线方程为y236-x212=1,即y2-3x2=36.
13. 解析:双曲线焦点(±4,0),顶点(±2,0),故椭圆的焦点为(±2,0),顶点(±4,0).
答案:x216+y212=1
14. 解析:由题意知|F1F2|=26-2=4,设P点坐标为(x,y).
由x26+y22=1,x23-y2=1,得x=±322,y=±22.
则S△PF1F2=12|F1F2|•|y|=12×4×22=2.
答案:2
15. 解析:设椭圆的右焦点为F1,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,又因为斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|AF1|=|BF|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=57.
答案:57
16. 解析:由题意得p2=2,p=4,抛物线方程为y2=8x,K(-2,0),设A(x0,y0),|AF|=a,x0=a-2,
由|AK|=2a得a2+y20=2a2,
又y20=8(a-2),∴a2=8(a-2),解得a=4.
由已知可得|y0|=a=4.
∴S△AFK=12×4×4=8.
答案:8
17. 解:①焦点在x轴上,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),且c=13.
设双曲线为x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),
m=a-4.因为e双e椭=73,所以am=73,
解得a=7,m=3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为13,
所以b2=36,n2=4.
所以椭圆方程为x249+y236=1,
双曲线方程为x29-y24=1.
②焦点在y轴上,椭圆方程为x236+y249=1,双曲线方程为y29-x24=1.
18. 解:(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.
由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4,4x2-5px+p2=0
可简化为x2-5x+4=0.
从而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,
从而A(1,-22),B(4,42).
设 =(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)
=(4λ+1,42λ-22),
又y23=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
19. 解:(1)由题设知,2a=4,即a=2,
将点1,32代入椭圆方程得122+322b2=1,解得b2=3,
故椭圆方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知A(-2,0),B(0,3),
所以kPQ=kAB=32,所以PQ所在直线方程为
y=32(x-1),
由y=32(x-1),x24+y23=1,得8y2+43y-9=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-32,
y1•y2=-98,
所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=34+4×98=212,
所以S△F1PQ=12|F1F2|•|y1-y2|=12×2×212=212.
20. 解:(1)由题意知ca=22,b=1,综合a2=b2+c2,
解得a=2,
所以,椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,
代入x22+y2=1,
得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,
由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,
x1x2=2k(k-2)1+2k2,
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2
=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2
=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.
21. 解:(1)x23-y2=1.
(2)y=kx+m,x23-y2=1,消去y得,
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,
由已知,1-3k2≠0且Δ=12(m2+1-3k2)>0⇒m2+1>3k2.①
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),
则x0=x1+x22=3km1-3k2,y0=kx0+m=m1-3k2,
因为AP⊥CD,
所以kAP=m1-3k2+13km1-3k2-0=m+1-3k23km=-1k,
整理得3k2=4m+1.②
联立①②得m2-4m>0,
所以m<0或m>4,又3k2=4m+1>0,
所以m>-14,因此-14<m<0或m>4.
故m的取值范围为-14,0∪(4,+∞).
22. 解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),
因为F 也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①
又C1与C2的公共弦长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y,
由此可知C1与C2的公共点的坐标为±6,32,
所以94a2+6b2=1.②
联立①②得a2=9,b2=8,
故C2的方程为y29+x28=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
 
 
从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2.③

设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,
 
由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,④
由y=kx+1,x28+y29=1,得(9+8k2)x2+16kx-64=0,
而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2,⑤
将④、⑤代入③,得16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+4×649+8k2.
即16(k2+1)=162×9(k2+1)(9+8k2)2,
所以(9+8k2)2=16×9,
解得k=±64,
即直线l的斜率为±64.
 


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