第三章数系的扩充与复数的引入检测试卷(附答案和解释)

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第三章数系的扩充与复数的引入检测试卷(附答案和解释)

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文 章来 源莲山 课件 w w
w.5Y k J.cO m 阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入
(时间: 120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.i是虚数单位,复数7-i3+i=(  )
A.2+i         B.2-i
C.-2+i  D.-2-i
解析:选B 7-i3+i=(7-i)(3-i)10=20-10i10=2-i.
2.(全国卷Ⅱ)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(  )
A.-1   B.0
C.1  D.2
解析:选B ∵(2+ai)(a-2i)=-4i,
∴4a+(a2-4)i=-4i.
∴4a=0,a2-4=-4.解得a=0.故选B.
3.若复数z满足z1-i=i,其中i是虚数单位,则z=(  )
A.1-i   B.1+i
C.-1-i  D.-1+i
解析:选A z=(1-i)i=-i2+i=1+i,z=1-i,故选A.
4.设i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于(  )
A.第一象限        B.第二象限
C.第三象限  D.第四象限
解析:选B 2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2(i-1)2=-1+i,由复数的几何意义知-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限,故选B.
5.已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  )
A.1+i          B.1-i
C.-1+i  D.-1-i
解析:选D 由(1-i)2z=1+i,得z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-1-i,故选D.
6.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是z,则2-zz等于(  )
A.-1-2i   B.-2+i
C.-1+2i  D.1+2i
解析:选C 由题意可得2-zz=2-(-1+i)-1-i
=(3-i)(-1+i)(-1-i)(-1+i)=-1+2i,故选C.
7.已知复数z=-12+32i,则z+|z|=(  )
A.-12-32i   B.-12+32i
C.12+32i   D.12-32i
解析:选D 因为z=-12+32i,所以z+|z|=-12-32i+ -122+322=12-32i.
8.已知复数z满足(1-i)z=i2 016(其中i为虚数单位),则z的虚部为(  )
A.12   B.-12
C.12i  D.-12i
解析:选B ∵2 016=4×504,∴i2 016=i4=1.∴z=11-i=12+12i,∴z=12-12i,∴z的虚部为-12.故选B.
9.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(  )
A.等腰三角形   B.直角三角形
C.等边三角形  D.等腰直角三角形
解析:选B 根据复数加(减)法的几何意义,知以OA――→,OB――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.
10.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是(  )
A.z对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.z对应的点在实轴的下方
D.z一定为实数
解析:选C ∵t2+2t+2=(t+1)2+1>0,∴z对应的点在实轴的上方.又∵z与z对应的点关于实轴对称.
∴C项正确.
11.设z的共轭复数为z,若z+z=4,z•z=8,则zz等于(  )
A.1   B.-i
C.±1  D.±i
解析:选D 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,由条件可得2a=4,a2+b2=8.解得a=2,b=±2.因此z=2+2i,z=2-2i,或z=2-2i,z=2+2i.所以zz=2-2i2+2i=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,或zz=2+2i2-2i=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,所以zz=±i.
12.已知复数z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应的向量的模为3,则yx的最大值是(  )
A.32   B.33
C.12   D.3
解析:选D 因为|(x-2)+yi|=3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在以C(2,0)为圆心,以 为半径的圆上,如图,由平面几何知识-3≤yx≤3.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.
解析:复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21.
答案: 21
14.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.
解析:由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-2a≠0,解得a=-2.
答案:-2
15.设复数a+bi(a,b∈R)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=________.
解析:∵|a+bi|=a2+b2=3,
∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.
答案:3
16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=________.
解析:设m=bi(b∈R且b≠0),则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,即x2+2x-2b=0,-x-4=0,解得x=-4,b=4,∴m=4i.
答案:4i
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),试求m取何值时?
(1)z是实数.
(2)z是纯虚数.
(3)z对应的点位于复平面的第一象限.
解:(1)由m2+3m+2=0且m2-2m-2>0,解得m=-1或m=-2,复数表示实数.
(2)当实部等于零且虚部不等于零时,复数表示纯虚数.
由lg(m2-2m-2)=0,且m2+3m+2≠0,
求得m=3,故当m=3时,复数z为纯虚数.
(3)由lg(m2-2m-2)>0,且m2+3m+2>0,解得m<-2或m>3,故当m<-2或m>3时,复数z对应的点位于复平面的第一象限.
18.(本小题满分12分)已知(1+2i)z=4+3i,求z及zz.
解:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
∴(1+2i)(a-bi)=4+3i,
∴(a+2b)+(2a-b)i=4+3i.
由复数相等,解得a+2b=4,2a-b=3,
解得a=2,b=1.
∴z=2+i.
∴zz=z•zz•z=z2|z|2=4-1+4i5=35+45i.
19.(本小题满分12分)已知z=1+i,a,b为实数.
(1)若ω=z2+3z-4,求|ω|;
(2)若z2+az+bz2-z+1=1-i,求a,b的值.
解:(1)ω=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,
所以|ω|=2.
(2)由条件,得(a+b)+(a+2)ii=1-i,
所以(a+b)+(a+2)i=1+i,
所以a+b=1,a+2=1,解得a=-1,b=2.
20.(本小题满分12分)虚数z满足|z|=1,z2+2z+1z<0,求z.
解:设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),∴x2+y2=1.
则z2+2z+1z=(x+yi)2+2(x+yi)+1x+yi
=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i.
∵y≠0,z2+2z+1z<0,
∴2x+1=0,     ①x2-y2+3x<0,  ②
又x2+y2=1.    ③
由①②③得x=-12,y=±32.
∴z=-12±32i.
21.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=1.
22.(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1•z2是实数,求z2.
解:∵(z1-2)(1+i)=1-i,
∴z1-2=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,
∴z1=2-i.
设z2=a+2i(a∈R),
则z1•z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
又∵z1•z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 文 章来 源莲山 课件 w w
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